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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 40.Problemas adicionais - Ex. 79

Em 1911, Ernest Rutherford propôs um modelo segundo o qual o átomo seria formado por uma carga pontual de carga positiva + Z e no centro de uma esfera de carga negativa - Z e , uniformemente distribuída em uma esfera de raio R . A uma distância r > R do centro da esfera, o potencial elétrico é

V = Z e 4 π ϵ 0 1 r - 3 2 R + r 2 2 R 3

(a) A partir da expressão de V , calcule o módulo do campo elétrico para 0 < r ≤ R . Determine (b) o campo elétrico e (c) o potencial para r ≥ R .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O campo elétrico será dado por

E → = - ∂ V ∂ r r ^

Logo,

E = - Z e 4 π ϵ 0 ∂ ∂ r 1 r - 3 2 R + r 2 2 R 3

Portanto,

E = - Z e 4 π ϵ 0 - 1 r 2 + r R 3

Ou ainda,

E = Z e 4 π ϵ 0 1 r 2 - r R 3

Passo 2

Para r > R , a carga dentro da esfera gaussiana da lei de Gauss é nula, de modo que

E = 0

Com isso, o potencial elétrico é uniforme e igual ao potencial da superfície da esfera. Esse potencial pode ser obtido fazendo r = R na expressão do enunciado:

V = Z e 4 π ϵ 0 1 R - 3 2 R + R 2 2 R 3

Fazendo as contas, achamos V = 0 .

Resposta

E = Z e 4 π ϵ 0 1 r 2 - r R 3

r > R → E = 0           e           V = 0

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