O 82Pb208 é descendente final estável da série radioativa cujo núcleo pai é o 90Th232 (veja a figura 16-5). A meia-vida desse núcleo é 1,4 x 10^10 anos. Verificou-se que numa amostra de minério de tório contendo 1 kg de 90Th232 existia também 200 g de 82Pb208. (a) Supondo que todos os núcleos de 82Pb208 desse minério tenham sido formados pelo decaimento do 90Th232 e que nenhum deles tenha sido perdido, calcule a idade dessa amostra; ou seja, calcule quantos anos decorreram desde que o tório foi concentrado nesse minério e começou o decaimento em equilíbrio, (b) Existe um total de seis partículas a emitidas no decaimento da série radioativa. Supondo que um número desprezível delas possa escapar do minério devido a sua espessura, determine a quantidade de hélio originário do decaimento que se encontra na amostra, (c) O primeiro núcleo filho da série, o 88Ra228, decai com uma meia-vida de 5,7 anos no núcleo filho seguinte, o 89 Ac228. Determine a quantidade de 88 Ra 228 que se deve encontrar na amostra.

a) A população de decaimento sobrevivendo até o tempo é dado por:

Aqui, é a taxa de decaimento as espécies e é a população inicial. Pegando as especiés de decaimento de , e fazendo sua população atual igual a expressão para :

Agora o pulo do gato

Vamos assumir que o decaimento dos átomos intermediários no é muito rápido comparado ao decaimento de , então à qualquer tempo poucos núcleos entre e o final produto , e igualando a população inicial a soma da população atual () e ():

Substituindo na expressão para

Dividindo por

Pegando o log natural dos dois lados:

Resolvendo para :

A expressão para a meia vida é:

Aqui, é o tempo de meia vida, que é dada em termos da taxa de decaimento:

Substituindo para em :

Resolvendo para :

Agora vamos calcular multiplicando a massa de na pedra pelo número de Avogadro e dividindo pelo peso atômico :

Do mesmo jeito, vamos calcular multiplicando a massa de na pedra pelo número de Avogadro e dividindo pelo peso atômico :

Substituindo os valores calculados de e na equação para :

Então, essa é a idade da pedra

b) Já que 6 partículas são lançadas no decaimento das séries terminando em , assumindo que nenhum do hélio resultante escapa da rocha e que vai ter 6 átomos presentes para cada átomo de :

Multiplicando a população de pela massa atômica aproximada para calcular a quantidade de na rocha:

Então, a quantidade de na rocha é:

c) já que o decaimento da meia vida de em é muito menor que o decaimento de em , assumindo que as populações de e satisfazem a condição de equilíbrio e fazendo o produto de e a taxa de decaimento igual ao produto de :

Resolvendo para :

Substituindo a meia vida de para na expressão que conseguimos na parte a) para para calcular a taxa de decaimento de :

Temos que:

E a quantidade presente na rocha: