Considere uma autofunção onda progressiva unidimensional. Suponha que o potencial V seja complexo, podendo ser escrito sob a forma V= VR +iVj. (a) Mostre que k se torna complexo, podendo se escrever k = kR + ikj. (b) Mostre então que a amplitude da onda progressiva é uma função exponencial decrescente de x. Autofunções como esta são usadas na descrição da absorção de partículas que atravessam o potencial do modelo ótico complexo, (c) A que distância a densidade de probabilidade associada decrescerá de um fator 1/e?

a) o vetor de onda é definido em termos da energia da partícula , da massa da partícula , do potencial de energia , e da constante de Planck :

Usando a forma complexa do potencial de energia :

Aqui, e são, respectivamente, as magnitudes dos componentes real e imaginário de . Substituindo na relação:

Assumindo que é também uma forma complexa:

Aqui, e são as magnitudes dos componentes real e imaginário dos componentes , respectivamente. O complexo quadrado de forma do é:

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Uma forma complexa de é igual a raiz quadrada de outra quantidade complexa. Já que a forma de está aumentando do potencial complexo é a raíz quadrada de uma quantidade complexa, é então complexo e pode ser escrita como:

b) substituindo o resultado obtido para na autofunção da onda :

A parte oscilatória da autofunção da onda é multiplicada por um fator exponencial de decaimento com . Então, a amplitude da onda é uma exponencial decrescente de função de .

c) multiplicando a função de onda da letra b) pelo seu complexo conjugado para calcular a densidade de probabilidade :

Fazendo o expoente da densidade de probabilidade igual a :

Resolvendo para para determinar a distância que a densidade de probabilidade diminui por um fator de :