Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 42.Problemas adicionais - Ex. 96c
. Quando a Segunda Guerra Mundial terminou, as autoridades holandesas prenderam o artista holandês Hans van Meegeren, acusando-o de ter vendido um quadro valioso ao criminoso de guerra nazista Hermann Goering. A pintura, Cristo e a Adúltera, como várias outras de autoria do mestre holandês Johannes Vermeer (1632-1675), tinha sido encontrada por van Meegeren depois de permanecer desaparecida durante quase 300 anos. Vender aquele tesouro nacional ao inimigo só podia ser considerado um ato de alta traição. Pouco depois de ser detido, porém, van Meegeren declarou, para surpresa geral, que Cristo e a Adúltera e os outros quadros “descobertos” por ele não passavam de falsificações. Explicou ele que havia imitado o estilo de Vermeer, usando telas de 300 anos de idade e pigmentos da época; assinara os trabalhos como se fossem de Vermeer e submetera as pinturas a um processo de envelhecimento acelerado em um forno para que parecessem autênticas. Estaria van Meegeren mentindo para escapar à acusação da alta traição, na esperança de ser condenado a uma pena menor pelo crime de fraude? Para os peritos, Cristo e a Adúltera certamente parecia um legítimo Vermeer, mas na época do julgamento de van Meegeren, em 1947, não existia nenhum método científico capaz de esclarecer a questão. Depois de pintar uma imitação de Vermeer enquanto estava na prisão, van Meegeren conseguiu convencer os acusadores e foi condenado a apenas um ano de prisão por fraude. Alguns especialistas, porém, continuaram a sustentar que os Vermeer eram autênticos. Em 1968, Bernard Keisch, da Carnegie-Mellon University, chegou a uma resposta definitiva usando uma pequena amostra de pigmento à base de chumbo removido do mais famoso entre os quadros supostamente descobertos por Meegeren, Cristo e Seus Discípulos em Emaús. Esse pigmento é obtido a partir de minério de chumbo, no qual parte do chumbo é produzida através de uma longa série de decaimentos que começa com o e termina com o . Para acompanhar o raciocínio de Keisch, vamos concentrar a atenção na parte da série que começa com o e termina com o e que pode ser resumida da seguinte forma (alguns radionuclídeos intermediários, de meia-vida relativamente curta, foram omitidos):
Como os decaimentos vêm ocorrendo há bilhões de anos e a meia-vida do é muito menor que a do , os nuclídeos e estão em equilíbrio, isto é, o número desses nuclídeos na amostra não varia com o tempo.
Qual é a razão dos números desses nuclídeos em uma amostra de minério de chumbo?
Passo 1
Vem comigo resolver essa juntos!
Se nós olharmos a série de decaimentos duas coisas fazem o número de núcleos de variar, o decaimento de em produzindo mais núcleos de elemento e o próprio decaimento do que faz com que a quantidade desses núcleos diminuírem.
A taxa de caimento de um núcleo é dada por .
Passo 2
Para o decaimento do em a taxa de decaimento é .
Para o decaimento do a taxa de decaimento é
Então a variação de núcleos do é dada por:
Mas segundo o enunciado os nuclídeos e estão em equilíbrio logo:
Logo temos que:
Passo 3
Então como temos que e que , ficamos com:
Agora usando o fato de que:
Onde é o tempo de meia vida, teremos que:
Para o temos que e para o temos que , assim:
Prontinho, finalizamos nossa questão!