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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 18.1 - Ex. 94

De acordo com o modelo de Einstein para um sólido cristalino, a energia interna por mol é dada por U = 3 N A k T E e T E T - 1 , onde T E é a temperatura característica, chamada temperatura de Einstein, e T é a temperatura do sólido em Kelvins. Use esta expressão para mostrar que a capacidade de calor molar de um sólido cristalino, a volume constante, é dada por:

c ' v = 3 R T E T 2 . e T E T e T E T - 1 2  

Passo 1

Bom, a primeira informação que podemos tirar deste problema é que precisamos relacionar a energia interna, aqui chamada de U, com a capacidade térmica molar a volume constante.

Existe uma relação, bem simples. Vamos lembrar:

d U = C v . d T

Mas aqui nós temos a capacidade térmica, não a capacidade térmica molar. Mas elas se relacionam.

Bora lembrar como?

C v = c ' v . n

Agora sim, na relação da energia:

d U = c ' v . n . d T

Se o isolarmos:

c ' v = 1 n . d U d T

Sabendo que:

U = 3 N A k T E e T E T - 1

Então:

c ' v = 1 n . d d T 3 N A k T E e T E T - 1

Como 3 N A k T E é constante:

c ' v = 3 N A k T E n . d d T 1 e T E T - 1

Vamos lembrar de mais uma coisa:

N A . k = R

E que:

N A = N n

Ou seja:

N A . k = N n k = R

Modificando esta relação um pouquinho:

N A . k = N k = n R

Agora ficou mais bonitão. Vamos jogar na fórmula e ver a mágica haha:

c ' v = 3 n R T E n . d d T 1 e T E T - 1 = 3 R T E d d T 1 e T E T - 1

Passo 2

Agora vamos derivar o termo 1 e T E T - 1 .

Primeiro temos que perceber que esta derivada vai precisar da Regra da Cadeia para ser resolvida.

Neste caso derivamos a integral “de fora” e multiplicamos pelo integral “de dentro”:

d d T 1 e T E T - 1 = - 1 e T E T - 1 2 . d d T e T E T - 1

A derivada da subtração será dada como:

d d T e T E T - 1 = d d T e T E T - d d T 1 = d d T e T E T

Aqui também usamos a Regra da Cadeia:

d d T e T E T = e T E T . d d T T E T = e T E T - T E T 2

Então:

d d T 1 e T E T - 1 = - 1 e T E T - 1 2 . e T E T - T E T 2 = T E e T E T T ² e T E T - 1 2

Jogando na fórmula do calor específico molar:

c ' v = 3 R T E . d d T 1 e T E T - 1 = 3 R T E T E e T E T T ² e T E T - 1 2

Reorganizando:

c ' v = 3 R T E T 2 e T E T e T E T - 1 2

E assim provamos nossa equação!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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