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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 46

Adapte os resultados da Seç. 13.5 levando em consideração a massa reduzida.

Passo 1

E aí, beleza?? Considerando a massa reduzida, a energia do sistema fica:

E = 1 2 μ r ˙ 2 + L 2 2 μ r 2 + E p

Portanto, podemos chegar em:

d r d θ 2 = μ 2 r 4 L 2 2 E - E p μ - L 2 μ 2 r 2

E, utilizando a equação da trajetória, assim como é feito na Seç. 13.5 ,vem:

1 - d 2 r 2 + 2 d e r - 1 e 2 = 2 d 2 μ E L 2 - 2 d 2 μ E p L 2 - d 2 r 2

Portanto:

E = L 2 2 μ d 2 1 - 1 e 2

E p = - L 2 μ e r d

Passo 2

Para a energia total, assim como na Seç 13.5 , vem:

E = - L 2 2 μ e   a d

E com E p = - G M m / r , temos:

L 2 μ e   r d = G M m r ∴ L 2 μ e   d = G M m

Portanto:

E = - G M m 2 a

Passo 3

E para a excentricidade:

L 2 = G M m μ   e d = G M m μ a ( 1 - e 2 )

Portanto:

e 2 = 1 + 2 E μ L G M m 2

Passo 4

Para a velocidade areolar e o período, temos:

r 2 d θ d t = L  

Logo:

A = 1 2 ∫ 0 2 π r 2 d θ = L 2 μ T = π a 2 1 - e 2 1 2

Portanto:

L 2 4 μ 2 T 2 = π 2 a 4 1 - e 2

Portanto:

T 2 a 3 = 4 π 2 μ G M m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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