Enunciado

Uma barra de massa m e resistência R desliza sem atrito em um plano horizontal, movendo-se sobre trilhos paralelos conforme mostra a Figura P23.72. Os trilhos são separados por uma distância d. Uma bateria, que mantém uma FEM constante e, é conectada entre os trilhos. Há um campo magnético constante B direcionado perpendicularmente para fora da página. Assumindo que a barra está inicialmente em repouso quando t = 0, mostre que no instante t ela se move com velocidade

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Então vamos resolver essa questão bem legal aqui e passo a passo pra gente tirar 10 na provinha!

Vamo lá!

A corrente na barra é:

I = ε + ε induzida  R ,  onde  ε induzida = - B d v

Pois a FEM induzida se opõe à FEM da bateria.

A força na barra está relacionada com a corrente e velocidade:

F = m d v d t = I B d

d v d t = I B d m = B d m R ε + ε induzida  d v d t = B d m R ( ε - B v d )

Passo 2

Para resolver a equação diferencial, seja u = E - B v d → d u d t = - B d d v d t :

d v d t = B d m R ε - B v d - 1 B d d u d t = B d m R u → ∫ u 0 u   d u u = - ∫ 0 t   ( B d ) 2 m R d t

Integrando,

ln ⁡ u u 0 = - ( B d ) 2 m R t

u u 0 = e - B 2 d 2 t m R

Substituindo u = ε - B v d , temos:

E - B v d = E e - B 2 d 2 t m R

v = E B d 1 - e - B 2 d 2 t m R

Resposta

v = E B d 1 - e - B 2 d 2 t m R

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