Enunciado

O cabo do elevador de 1800   k g da Fig. 8-54 se rompe quando o elevador está parado no primeiro andar, onde o piso se encontra a uma distância d   =   3,7   m acima de uma mola de constante elástica k   =   0 ,   15   M N / m . Um dispositivo de segurança prende o elevador aos trilhos laterais, de modo que uma força de atrito constante de 4,4   k N passa a se opor ao movimento. (a) Determine a velocidade do elevador no momento em que se choca com a mola. (b) Determine a máxima redução x do comprimento da mola (a força de atrito continua a agir enquanto a mola está sendo comprimida). (c) Determine a distância que o elevador sobe de volta no poço. (d ) Usando a lei de conservação da energia, determine a distância total aproximada que o elevador percorre antes de parar. (Suponha que a força de atrito sobre o elevador seja desprezível quando o elevador está parado.)

Figura 8-54 Problema 63.

Passo 1

a) A lei da conservação de energia pode ser escrita da seguinte forma

∆ E m e c = W

Neste caso sabemos que ∆ E m e c = ∆ K + ∆ U , logo:

W = ∆ E m e c + ∆ E T

∆ E m e c + ∆ E T = 0

∆ K + ∆ U + ∆ E T = 0

No instante inicial, o elevador está parado ( K = 0 ). Vamos tomar como referência o ponto mais alto da mola relaxada. Nesse caso temos U 1 (energia potencial gravitacional inicial) e o final da mola para U 2 (energia potencial gravitacional final). Temos que U 2 = 0 e U 1 = m g d logo:

∆ K + ∆ U + ∆ E T = 0

∆ K + ( U 2 - U 1 ) + ∆ E T = 0

K 2 + ( 0 - m g d ) + ∆ E T = 0

K 2 - m g d + ∆ E T = 0

Nesse caso o trabalho realizado sobre o sistema é o trabalho do atrito que é dado por

W = - f k d

O sinal de menos aparece por que o atrito tira energia do sistema!

K 2 - m g d = - f k d

K 2 = m g d - f k d

1 2 m v 2 = m g d - f k d

v =   2 d m m g - f k

Substituindo os valores para d = 3,7   m , m = 1800   k g , g = 9,8   m / s 2 e f k = 4400   N , temos:

v =   2.3,7 1800 1800.9,8 - 4400

v ≈ 7,4   m / s

Passo 2

b) Aplicando a lei de conservação de energia no instante que o elevador encosta na mola e quando a mola é comprimida de x metros, temos:

∆ E m e c = W

Quando o elevador encosta na mola, há apenas energia cinética. No instante em que a mola é comprimida, temos uma energia potencial gravitacional U g , 2 (onde h = - x , pois se trata da compressão da mola) e uma energia potencial elástica U e , 2 além disso parte dessa energia inicial é dissipada pelo atrito, logo

Δ K + Δ U = W

K 2 - K 1 + U g , 2 + U e , 2 - U g , 1 + U e , 1 = W

0 - K 1 + U g , 2 + U e , 2 - 0 + 0 = W

- 1 2 m v 2 + m g - x + 1 2 k x 2 = - f k x

1 2 k x 2 + x f k - m g - 1 2 m v 2 = 0

Temos uma equação do 2° grau em função de x , logo

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Com

a = k / 2 ,

b = f k - m g

c =   - m v 2 / 2 .

Para k = 0,15 . 10 6   N / m , v = 7,4   m / s , m = 1800   k g , g = 9,8   m / s 2 e f k = 4400   N

a = k / 2 = 7,5.10 4

b = f k - m g =   - 13240

  c =   - m v 2 / 2 =   - 49284

Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x temos:

x = - - 13240 ± - 13240 2 - 4.7,5.10 4 . - 49284 2.7,5.10 4

x = 0,9   m   ( r a i z   p o s i t i v a )

Passo 3

c) Queremos descobrir a distância que o elevador sobe de volta no poço. Vamos adotando como referência para energia potencial inicial o ponto mais baixo atingido pelo elevador, temos pela lei da conservação de energia que:

Δ K + Δ U = W

0 - 0 + U g , 2 - U e , 1 = f k h

m g h - 1 2 k x 2 = f k h

m g h - f k h = 1 2 k x 2

h m g - f k = 1 2 k x 2

h = k x 2 2 m g - f k

h = 0,15.10 6 . 0,9 2 2 1800.9,8 - 4400

h ≈ 4,6   m

Passo 4

d) Na posição final, as forças agindo sobre o elevador entram em equilíbrio.

Vamos calcular o valor da variação sofrida na mola ( x ) no ponto de equilíbrio:

P = F e  

m g = k x

x = m g k = 1800.9,8 0,15.10 6

x ≈ 0,12   m

A energia dissipada pelo atrito é que determina a distância total percorrida pelo elevador, logo

∆ E T = f k d t

Onde d t é a distância total.

Usando o ponto de equilíbrio como referência para a energia potencial gravitacional e aplicando a lei de conservação da energia temos que:

U g = U e + ∆ E T

m g d + x = 1 2 k x 2 + f k d t

f k d t = m g d + x - k x 2 2

d t = m g d + x - k x 2 2 f k

d t = 1800.9,8 3,7 + 0,12 - 0,15.10 6 0,12 2 2 4400

d t ≈ 15,0   m

Resposta

a) v ≈ 7,4   m / s

b) x = 0,9   m

c) h ≈ 4,6   m

d) d t ≈ 15,0   m

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