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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 4

Calculando a integral de normalização clássica no exemplo 5-6, determine o valor da constante B 2 que satisfaz a exigência de que a probabilidade total de encontrar a partícula no oscilador clássico em algum ponto entre seus limites para o movimento deve ser igual a um.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Antes de resolver esse problema, dê uma olhada no exemplo 5-6 do livro.

Em uma das passagens, ele escreve que a probabilidade é dada por

P = B 2 2 m   E - C x 2 2

Queremos saber o valor de B 2 para a probabilidade seja normalizada, isto é, para a integral entre limites de integração escolhidos seja igual a 1.

Ante disso, vamos escrever

E - C x 2 2 = C 2   2 E C - x 2

Assim,

P = B 2 C m   2 E C - x 2

Os limites de integração são

x = ± 2 E C

Observe que se definirmos y 2 = 2 E / C , podemos escrever

P = B 2 C m   y 2 - x 2

E os limites ficam

x = ± y ,           y = 2 E C

Passo 2

Desta forma, temos a integral

∫ - y y B 2 C m y 2 - x 2   d x = 1

Como a função a ser integrada é par, podemos escrever:

∫ - y y B 2 C m y 2 - x 2   d x = 2 ∫ 0 y B 2 C m y 2 - x 2   d x = 1

Assim,

∫ 0 y B 2 C m y 2 - x 2   d x = 1 2

Ou ainda,

B 2 m C   ∫ 0 y 1 y 2 - x 2   d x = 1 2

Nosso objetivo é calcular a integral

I = ∫ 0 y 1 y 2 - x 2   d x

Passo 3

Para calcular a integral vamos fazer a substituição x = y   s e n   θ :

d x = y cos ⁡ θ   d θ

Quando x = 0 , temos θ = 0 . Já para x = y , temos s e n   θ = 1 → θ = π / 2 :

I = ∫ 0 π / 2 1 y 2 - y 2   s e n 2 θ   y cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π / 2 y cos ⁡ θ y 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Portanto,

I = ∫ 0 π / 2 d θ = π 2

Desta forma,

B 2 m C π 2 = 1 2 → B 2 = 1 π C m

Resposta

B 2 = 1 π C m

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