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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 1

Se as funções de onda Ψ 1 x ,   t , Ψ 2 x ,   t e Ψ 3 x ,   t são três soluções da equação de Schroedinger para um potencial particular V x ,   t , mostre que a combinação linear arbitrária Ψ x ,   t = c 1 Ψ 1 x ,   t + c 2 Ψ 2 x ,   t + c 3 Ψ 3 x ,   t também é solução desta equação.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício pede para fazermos a demonstração considerando 3 soluções Ψ 1 , Ψ 2 e Ψ 3 , mas vou generalizar e fazer a demonstração para um número N qualquer de soluções!

Consideremos N soluções Ψ 1 ,   Ψ 2 ,   … ,   Ψ N da equação com potencial V x ,   t . Vou denotar genericamente uma solução por Ψ j , com j = 1 ,   2 ,   … ,   N . Como Ψ j é solução da equação de Schroedinger, deve satisfazer

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 + V x , t   Ψ j = i ℏ ∂ Ψ j ∂ t

Essa relação é válida para cada um dos Ψ j !

Queremos mostrar que Ψ = ∑ j c j Ψ j também é solução. Para isso, tomamos a segunda derivada com relação a x :

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = ∑ j c j ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 → - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 = ∑ j c j   - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2

Da mesma forma,

∂ Ψ ∂ t = ∑ j c j ∂ Ψ j ∂ t → i ℏ ∂ Ψ ∂ t = ∑ j c j   i ℏ ∂ Ψ j ∂ t

Lembre-se: a derivada da soma é soma das derivadas!

Passo 2

Vamos aplicar o lado esquerdo da equação de Schroedinger na função Ψ :

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x , t   Ψ = ∑ j c j   - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 + V x , t   ∑ j c j   Ψ j

Jogando V x ,   t para dentro da segunda soma:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x , t   Ψ = ∑ j c j   - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 + ∑ j c j   V x , t Ψ j

Podemos juntar tudo em uma soma só:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x , t   Ψ = ∑ j c j   - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 + V x , t Ψ j

Mas como cada Ψ j satisfaz a equação, temos

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ j ∂ x 2 + V x , t   Ψ j = i ℏ ∂ Ψ j ∂ t

Assim, podemos escrever

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x , t   Ψ = ∑ j c j   i ℏ ∂ Ψ j ∂ t

Invertendo a derivada com a soma, encontramos:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x ,   t   Ψ = i ℏ ∂ ∂ t   ∑ j c j   Ψ j = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Portanto,

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V x ,   t   Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Isso prova que Ψ é solução da equação de Schroedinger! Basicamente, o que fizemos foi mostrar que a combinação linear de soluções também é solução!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro