Enunciado
Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 11
Calcule o , onde é um vetor constante.
Passo 1
Bom, temos que calcular , onde é constante. Podemos dizer, então:
E
Vamos por partes, começando pelo cálculo do produto vetorial:
Para calcular esse determinante, a gente faz o seguinte, por exemplo: queremos saber a componente , ignoramos a linha e a coluna de e fazemos o determinante do que sobrou:
Para , após excluir a linha e a coluna, sobra e o determinante será: . E esse será o valor associado ao .
Fazemos o mesmo procedimento para e , a diferença é que para o vamos multiplicar o resultado por no final, apenas! Dessa forma:
Passo 2
Agora, vamos fazer o divergente desse vetor, lembrando que o divergente de um vetor qualquer :
Com isso, como queremos , onde:
Vamos ter que:
Calma, veremos que eles seguem um padrão!
Passo 3
No primeiro termo:
Pela regra do produto:
Mas, como é um vetor constante, suas derivadas serão nulas. Dessa forma:
Então, vemos que apenas as derivadas com as componentes de que vão aparecer! Dessa forma:
E:
Nesse segundo termo, vamos usar as mesmas ideias:
E pelo mesmo raciocínio anterior:
O terceiro termo segue o padrão:
Passo 4
Vamos substituir todas as derivadas que encontramos:
Vamos colocar os , e em evidência:
Então, seria o vetor multiplicado escalarmente com alguma coisa:
Algo desse tipo...
Opa, isso tá com uma cara de rotacional... Vamos conferir o rotacional de :
Repare que um é o oposto do outro! Então, o que temos dentro do parênteses no divergente é . Dessa forma:
Ufa! Prontinho.