(a) Calcule o valor esperado para o momento angular L → do rotor rígido bidimensional num estado quântico típico usando as autofunções encontradas no problema 22.

(b) Calcule em seguida L ² → e ( L ) → ² e interprete em que implica seu resultado sobre os valores de L → que sejam obtidos em uma série de medidas sobre o sistema.

Passo 1

Para esse problemas iremos precisar de dados de algumas questões anteriores, como o problema 22. A autofunção do problema 22 é dada por

Ψ ( θ ,   t ) = Φ ( ϕ ) T ( t ) .

Como o problema 22 nos dá a parte independente do tempo, sabemos que Φ ( ϕ ) = e x p ( i m ϕ ) . Essa função precisa ser normalizada, então, a sua normalização é dada pela equação

∫ 0 2 π N * N ( e x p ( - i m ϕ ) ⋅ e x p ( i m ϕ )   d ϕ = 1 , (1)

esse produto dos termos exponenciais é igual a 1. Caso você não recorde, aqui vai um flashback:

e x p ( i m ϕ ) = c o s ( m ϕ ) + i s e n ( m ϕ )

e x p ( - i m ϕ ) = c o s ( m ϕ ) - i s e n ( m ϕ )

e x p ( - i m ϕ ) ⋅ e x p ( i m ϕ ) = ( c o s ( m ϕ ) - i s e n ( m ϕ ) ) ⋅ ( c o s ( m ϕ ) + i s e n ( m ϕ ) )

e x p ( - i m ϕ ) ⋅ e x p ( i m ϕ ) = c o s 2 ( m ϕ ) + s e n 2 ( m ϕ )   =   1

Continuando com a equação (1)

N * N   ∫ 0 2 π d ϕ = 1   → 2 π N * N = 1 → N * N = 1 2 π

Nossa função de onda é da forma

Φ ( ϕ ) = 1 2 π   e x p ( i m ϕ )     (2)

Passo 2

(a) O valor esperado do momento angular é dado por

L → =   ∫ 0 2 π ϕ *   ( - i ℏ ∂ ∂ ϕ )   Φ   d ϕ

L → =   ∫ 0 2 π ϕ *   ( - i ℏ ∂ ∂ ϕ Φ )   d ϕ = 1 2 π ∫ 0 2 π e x p ( - i m ϕ )   ( i ℏ ∂ ∂ ϕ   e x p ( i m ϕ ) ) d ϕ

L → = 1 2 π ( i m   ⋅ ( - i ℏ ) ) ∫ 0 2 π e x p ( - i m ϕ )   e x p ( i m ϕ ) d ϕ = 1 2 π ( i m   ⋅ ( - i ℏ ) )   2 π

L → = - i 2 m   ℏ = m ℏ .

(b) O valor esperado para L ² → é feito da mesma maneira do item (a), basta fazer o termo ( - i ℏ ∂ ∂ ϕ )   elevado à segunda potência.

Esse termo surge devido a relação de comutação entre [ L x → ,   L y → ] = i ℏ L z = - i ℏ ∂ ∂ ϕ .

L → ² =   ∫ 0 2 π ϕ *   ( - i ℏ ∂ ∂ ϕ ) 2   Φ   d ϕ

L → ² =   ∫ 0 2 π ϕ *   ( - i ℏ ∂ ∂ ϕ Φ ) 2   d ϕ = 1 2 π ∫ 0 2 π e x p ( - i m ϕ )   [ ( i ℏ ) ² ∂ ² ∂ ϕ ²   e x p ( i m ϕ ) ] d ϕ

L → ² = 1 2 π [ ( i m ) ²   ⋅ ( i ℏ ) ² ] ∫ 0 2 π e x p ( - i m ϕ )   e x p ( i m ϕ ) d ϕ = 1 2 π [ ( i m ) ²   ⋅ ( i ℏ ) ² ) ]   2 π

L → ² = [ ( - m ² )   ( - ℏ ² ) ] = m ² ℏ ² .

Já para o caso ( L ) → ² , podemos usar nossa resposta do item (a) e elevar ao quadrado. Tornando assim:

L → = - i 2 m   ℏ = m ℏ

( L ) ² → = ( m ℏ ) ² = m ² ℏ ² .

Resposta

(a) L → = - i 2 m   ℏ = m ℏ .

(b) L → ² = [ ( - m ² )   ( - ℏ ² ) ] = m ² ℏ ² ; ( L ) ² → = ( m ℏ ) ² = m ² ℏ ² .

Veja que L ² → = ( L ) → ² , uma vez que eles sejam semelhantes e essas medições geram L z → , onde L z → = m ℏ satisfaz as relações acima que obedecem a relação de quantização L z → = m ℏ e L ² → = l ( l + 1 ) ℏ ² .

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