Calcule o valor esperado de x e o valor esperado de x 2 para a partícula associada à função de onda do problema 10.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A função de onda fornecida pelo problema 10 é

ψ x , t = 2 a   s e n   2 π x a   e - i E t ℏ ,         - a / 2 < x < a / 2 0 ,               x < - a / 2           o u           x > a / 2

Para calcular o valor esperado de x , basta lembrar que

x - = ∫ ψ *   x   ψ   d x

Para isso, fazemos

ψ *   x   ψ = 2 a   s e n   2 π x a   e i E t ℏ   x   2 a   s e n   2 π x a   e - i E t ℏ

Observe que na substituição de ψ * tivemos que trocar o i por - i . Assim,

ψ *   x   ψ = 2 a   s e n 2 2 π x a   x

O valor esperado será a integral dessa expressão:

x - = ∫ - a / 2 a / 2 2 a   s e n 2 2 π x a   x   d x

Como s e n 2 2 π x a é uma função par e x é uma função ímpar, o integrando é uma função ímpar (o produto de uma função par com uma ímpar é uma função ímpar). Como a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é nula, temos

x - = 0

Passo 2

Já para o valor esperado de x 2 , temos

x 2 - = ∫ ψ *   x 2   ψ   d x = 2 a ∫ - a / 2 a / 2 s e n 2 2 π x a   x 2   d x

Essa integral não se anula pois tanto o s e n 2 2 π x a como x 2 são funções pares, de modo que o integrando é par.

Vamos fazer uma mudança de variável:

y = 2 π x a → x = a 2 π y → d x = a 2 π   d y

Assim,

x 2 - = 2 a ∫ - π π s e n 2 y   a 2 π y 2 a 2 π d y = a 2 4 π 3 ∫ - π π y 2   s e n 2 y   d y

Como o integrando é par, podemos fazer

∫ - π π y 2   s e n 2 y   d y = 2   ∫ 0 π y 2   s e n 2 y   d y

Assim,

x 2 - = a 2 2 π 3 ∫ 0 π y 2   s e n 2 y   d y

Passo 3

Essa integral não é muito difícil de calcular, só é um pouco chata. Você precisa aplicar integração por partes duas vezes. Suponho que você que esteja estudando quântica já domine esse tipo de integral, então vou recorrer ao WOLFRAM para obter o resultado. Procure no google ‘wolfram’ e na página inicial insira o seguinte o comando:

Ele vai te devolver o resultado da integral:

Assim,

x 2 - = a 2 2 π 3 ⋅ π 12 2 π 2 - 3 = 2 π 2 - 3 24 π 2 a 2

Ou ainda,

x 2 - ≈ 0,07067   a 2

Resposta

x - = 0

x 2 - = 2 π 2 - 3 24 π 2 a 2 ≈ 0,07067   a 2

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