a) Normalize a função de onda do problema 9, ajustando o valor da constante multiplicativa A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula associada em algum ponto da região de comprimento a seja um.

b) Compare com o valor de A obtido no exemplo 5-7 na normalização da função de onda do estado fundamental.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A função de onda fornecida no problema 9 é

ψ x , t = A   s e n   2 π x a   e - i E t ℏ ,         - a / 2 < x < a / 2 0 ,               x < - a / 2           o u           x > a / 2

Para fazer a normalização, temos que lembrar que o módulo ao quadrado da função de onda é a densidade de probabilidade:

ψ 2 = A 2 s e n 2 2 π x a   e - i E t ℏ e i E t ℏ = A 2 s e n 2 2 π x a

A condição de normalização é

∫ - a / 2 a / 2 ψ 2   d x = 1

Assim,

A 2   ∫ - a / 2 a / 2 s e n 2 2 π x a   d x = 1

Passo 2

Para fazer a integral, fazemos a mudança de variável

y = 2 π x a → d x = a 2 π   d y

Portanto,

A 2 ⋅ a 2 π ∫ - π π s e n 2   y   d y = 1

Lembramos que

s e n 2 y = 1 - cos ⁡ 2 y 2

Assim,

A 2 a 4 π ∫ - π π 1 - cos ⁡ 2 y   d y = 1

Fazendo a integral:

A 2 a 4 π y - 1 2 s e n   2 y - π π = 1

Logo,

A 2 a 4 π ⋅ 2 π = 1 → A = 2 a

Passo 3

No exemplo 5-7, a constante de normalização encontrada para o estado fundamental do oscilador harmônico dependia das propriedades do oscilador (massa e constante da mola) e da constante de Planck. Já no caso da partícula presa na caixa, depende apenas do tamanho da caixa.

Resposta

A = 2 a

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