Enunciado

Calcule o valor esperado de p e o valor esperado de p 2 para a partícula associada à função de onda do problema 10.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A função de onda fornecida pelo problema 10 é

ψ x , t = 2 a   s e n   2 π x a   e - i E t ℏ ,         - a / 2 < x < a / 2 0 ,               x < - a / 2           o u           x > a / 2

Para calcular o valor esperado de p , basta lembrar que

p - = ∫ ψ *   - i ℏ ∂ ∂ x   ψ   d x

Para isso, fazemos

ψ *   - i ℏ ∂ ψ ∂ x = 2 a   s e n   2 π x a   e i E t ℏ   - i ℏ   2 a 2 π a cos ⁡ 2 π x a   e - i E t ℏ

Observe que na substituição de ψ * tivemos que trocar o i por - i . Juntando os termos e eliminando o fator de fase temporal, temos

ψ *   - i ℏ ∂ ψ ∂ x = - i ℏ 4 π a 2   s e n 2 π x a cos ⁡ 2 π x a

O valor esperado será a integral dessa expressão:

p - = - i ℏ 4 π a 2 ∫ - a / 2 a / 2 s e n 2 π x a cos ⁡ 2 π x a   d x

Como s e n 2 π x a é uma função ímpar e cos ⁡ 2 π x a é uma função par, o integrando é uma função ímpar (o produto de uma função par com uma ímpar é uma função ímpar). Como a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é nula, temos

p - = 0

Passo 2

Já para o valor esperado de p 2 , temos

p 2 - = p - = ∫ ψ *   - i ℏ ∂ ∂ x 2   ψ   d x = - ℏ 2 ∫ ψ * ∂ 2 ψ ∂ x 2   d x

O termo dentro da integral é dado por

ψ * ∂ 2 ψ ∂ x 2 = 2 a   s e n   2 π x a   e i E t ℏ   - 2 π a 2   2 a   s e n   2 π x a   e - i E t ℏ

Assim,

p 2 - = 4 π 2 ℏ 2 a 2 ⋅ 2 a   ∫ - a 2 a 2 s e n 2 2 π x a   d x = 8 π 2 ℏ 2 a 3   ∫ - a 2 a 2 s e n 2 2 π x a   d x

Vamos fazer a mudança de variável:

y = 2 π x a → d x = a 2 π   d y

Assim,

p 2 - = 8 π 2 ℏ 2 a 3 ⋅ a 2 π   ∫ - π π   s e n 2 y   d y = 4 π ℏ 2 a 2 ⋅ 2   ∫ 0 π s e n 2 y   d y

Na última passagem, usei o fato de o integrando ser par num intervalo simétrico. Desta forma, temos

p 2 - = 8 π ℏ 2 a 2 ∫ 0 π s e n 2 y   d y

Passo 3

Suponho que você que esteja estudando quântica já domine esse tipo de integral, então vou recorrer ao WOLFRAM para obter o resultado. Procure no google ‘wolfram’ e na página inicial insira o seguinte o comando:

Ele vai te devolver o resultado da integral:

Assim,

p 2 - = 8 π ℏ 2 a 2 ⋅ π 2 = 4 π 2 ℏ 2 a 2

Resposta

p - = 0

p 2 - = 4 π 2 ℏ 2 a 2

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