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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 35.Exercícios e Problemas - Ex. 35

O campo magnético no interior de um solenóide supercondutor, com 4,0 cm de diâmetro, varia de forma senoidal entre 8,0 T e 12,0 T à frequência de 10 Hz.

a. Qual é a intensidade máxima do campo elétrico em um ponto a 1,5 cm do eixo do solenóide?

b. Qual é o valor de B no instante em que E atinge seu valor máximo?

Passo 1

Dados os valores:

d   =   4   c m

B 1   =   8   T

B 2   =   12   T

f   =   10   H z

l   =   1.5   c m

da Lei de Faraday:

∮ E _ ∙ d _ s   =   - d d t ∫ B _ ∙ d _ A

E _ ∙ s _   =   | - ( d d t B ) ∙ A |

O perímetro da seção transversal do solenóide é dado por:

s   =   2 π r

A área A do solenóide é dada por:

A   =   π r ²

O próximo passo são os valores substitutos para A e s na equação 1.

E ( 2 π r )   =   B ( t ) ( π r ² )

E   =   r 2 B ( t )

Como o campo magnético varia senoidal, então o campo magnético se torna:

B ( t )   =   B c   +   B 0 s i n ( w t )   → onde B c e B 0 são constantes.

A velocidade angular do solenóide é dada por:

w   =   2 π r

⇒ B ( t )   =   B C + B 0 s i n ( 2 π f t )

Passo 2

Agora, iremos encontrar o valor B 0 :

B 0   =   B 2 - B 1 2

B 0   =   12 - 8 2

B 0   =   4 2

B 0   =   2   T

agora iremos iremos encontrar B c :

B c   = B 2 + B 1 2

B c   =   12 + 8 2

B c   =   20 2

B c   =   10   T

Agora, temos que substituir os valores de B 0 e B c ​ na equação 3.

B ( t )   =   10   +   2 ∙ s i n ( 2 π ∙ 10 ∙ t )

B ( t )   =   10   +   2 s i n ( 20 π t )

B ' ( t )   =   d d t ( 10 + 2 s i n ( 20 π t ) )

B ' ( t )   =   0   +   2 ∙ 20 π   c o s ( 20 π t )

B ' ( t )   =   40 π c o s ( 20 π t )

Passo 3

Valor para B ' ( t ) substituir na equação 2.

E   =   r 2 B ' ( t )

E   =   r 2 40 π   c o s ( 2 π t )

Para campo elétrico máximo:

c o s ( 20 π ) t   =   1

Finalmente, substitua o valor na expressão para E:

E m a x   =   1.5 2 ∙ 40 π ∙ 1

E m a x   =   1.5 ∙ 1 100 ∙ 20 π

E m a x   =   0.942   V / m

Resposta

  1. E m a x   =   0.942   V / m
  2. c o s ( 20 π ) t   =   1
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