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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 28.Exercícios e Problemas - Ex. 52

Um cilindro carregado muito longo, de raio R, possui uma densidade linear de carga λ . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro

(a) fora do mesmo, para r > R , e

(b) dentro do cilindro, para r < R .

(c) Mostre também que suas respostas aos itens anteriores coincidem na borda do cilindro, correspondente a r = R .

Passo 1

Pessoal, vamos começar definindo o campo elétrico

A E = Q ε 0

Como temos a área de um cilindro

2 π r L E = Q ε 0

Sendo a carga

Q = λ L

Para r ≥ R a área varia junto com r

2 π r L E = λ L ε 0

E = λ L ε 0 ⋅ 2 π r L

Simplificando

E = λ ε 0 ⋅ 2 π ⋅ 1 r

E = λ ε 0 ⋅ 2 π ⋅ r ^ r

Passo 2

Para r ≤ R

2 π r L E = Q ε 0

Desta vez, temos um volume limitado do cilindro.

Vamos chamar D de densidade volumétrica, é simplesmente a carga distribuída pelo volume da esfera.

D = Q V

Substituindo a carga

2 π r L E = D ⋅ V ε 0

A densidade volumétrica é a densidade linear dividido pela área

D = λ π R 2

Substituindo na equação anterior

2 π r L E = λ ⋅ V ε 0 ⋅ π ⋅ R 2

Agora vamos substituir o volume do cilindro

2 π r L E = λ ⋅ π r 2 L ε 0 ⋅ π ⋅ R 2

Agora vamos substituir o volume do cilindro

2 π r L E = λ ⋅ π r 2 L ε 0 ⋅ π ⋅ R 2

Simplificando

E = λ ⋅ r ε 0 ⋅ π ⋅ R 2

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ r R 2 r ^

Passo 3

Para r ≥ R

E = λ ε 0 ⋅ 2 π ⋅ r ^ r

Para r ≤ R

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ r R 2

Podemos substituir r = R em qualquer uma das equações e vamos convergir ao mesmo resultado

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ R R 2 r ^

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ 1 R r ^

Resposta

a.

E = λ ε 0 ⋅ 2 π ⋅ r ^ r

b.

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ r R 2

c.

E = λ ε 0 ⋅ π ⋅ 1 R r ^

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