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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 9

A – Combinando n ( ε ) de (11-21) e N ( ε ) de (11-49) para um gás ideal de partículas clássicas, com

A = e - α = N h 3 2 π m k T 3 2 V

Mostre que

n ε N ε d ε = 2 N ( k T ) 3 2 π 1 2 ε 1 2 e - ε k T   d ε  

é a distribuição de energia das partículas de um gás ideal.

B - Mostre que a distribuição de velocidade de Maxwell das moléculas de um gás, cuja forma é n v d v = C v 2 e - m v 2 2 k T   d v , onde C é uma constante, segue diretamente daí.

Passo 1

Fala pessoal, tudo belezinha? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Primeiramente, para a letra a nós teremos que usar a distribuição de Boltzmann, que é dado da seguinte forma:

n ε = n b o l t z ε = 1 e α e ε k T

Aqui, ε é a energia da partícula, T é a temperatura e esse k é a constante de Boltzmann. Ok, agora, vamos usar a constante dada no enunciado.

e - α = 1 ε α = N h 3 2 π m k T 3 2 V

Vamos usar este termo na distribuição de Boltzmann para n ( ε ) :

n ε = N h 3 2 π m k T 3 2 V 1 e ε k T

Agora, uma informação bem importante, lembra do número de estados? Pois bem, o número de estados N ε d ε para um “gap” entre ε e ε + d ε é igual a

N ε d ε = 4 π V h 3 2 m 3 ε   d ε

Passo 2

Agora, a parte é mais matemática mesmo, vamos multiplicar n ε e N ε d ε , com isso nós temos a seguinte operação matemática:

n ε N ε d ε = N h 3 2 π m k T 3 2 V 1 e ε k T 4 π V h 3 2 m 3 1 2 ε 1 2   d ε

Parece bem complicada, mas dá para “cortar” algumas coisas dessa expressão

n ε N ε d ε = h 3 m 3 2 V h 3 m 3 2 V 4 π 2 N 2 2 π π k T 3 2 ε 1 2 e - ε k T d ε  

Simplificando a expressão, nós temos:

n ε N ε d ε = 2 N k T 3 2 π 1 2 ε 1 2 e - ε k T   d ε

E essa é a resposta da letra a) 😊

Passo 3

Para a letra b, temos que revisitar algumas coisas relacionadas a energia cinética, pois bem, a energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é igual a:

ε = 1 2   m v 2

Pegando a derivada desse termo, nós temos:

d ε d v = m v

Fazendo uma operação para levar o d v para o lado direito (matemáticos, nos perdoem por isso rsrs), nós temos:

d ε = m v   d v

Substituindo esta energia na expressão da letra a nós vamos ter:

n 1 2 m v 2 N 1 2 m v 2 m v   d v = 2 N k T 3 2 π 1 2 1 2 m v 2 1 2 e - 1 2 m v 2 k T   m v   d v

Complicado, mas dá para simplificar:

= 2 N k T 3 2 π 1 2 m 2 v e - m v 2 2 k T m v   d v = 2 π N m k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v  

Dividindo isto por N para encontrar a distribuição de Maxwell, nós temos:

n v d v = 2 π m k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v

Fazendo a substituição de 2 π m k T 3 2 = C , com isso, nós temos:

n v d v = C v 2 e - m v 2 2 k T   d v

Portanto, a distribuição de Maxwell para velocidade é igual a:

n v d v = C v 2 e - m v 2 2 k T d v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro