Uma das competições de um festival escolar consiste em arremessar uma lança em um alvo submerso e estacionário no fundo de uma piscina. A água tem 1,0 m de profundidade. Você está parado em um pequeno banco que faz com que seus olhos estejam 3,0 m acima do fundo da piscina. Quando você olha para o alvo, seu olhar está direcionado segundo um ângulo de 30° abaixo da horizontal. Segundo que ângulo abaixo da horizontal você deveria jogar a lança a fim de atingir o alvo? Seu braço erguido faz com que a ponta da lança fique ao nível dos olhos quando você a arremessa, e ao longo desta pequena distância pode-se considerar que a lança percorra uma linha reta, ao invés de uma trajetória parabólica.

Passo 1

Primeiramente, é importante ter em mente a forma como os dados do enunciado se relacionam. Para tanto, uma ilustração do problema se faz bastante útil.

Com isso, em razão da utilidade do ângulo de incidência do raio de luz da imagem do alvo nos cálculos posteriores, encontrá-lo é mister. Conforme a figura, nota-se que o ângulo de refração θ r é complementar do ângulo de 30 ° segundo o qual o observador enxerga. Logo,

θ r + 30 ° = 90 ° ⇒ θ r = 60 °

Por conseguinte, pela lei de Snell, e sabendo-se que n a r = 1 e n H 2 O = 1,33 , o ângulo de incidência θ i do raio no ar é tal que

n a r s i n θ r = n H 2 O s i n θ i ⇒ θ i = a r c s i n n a r s i n θ r n H 2 O = a r c s i n 1 × s i n 60 ° 1,33 ≈ 40,63 °

Passo 2

Agora as distâncias horizontais d 1 e d 2 podem ser encontradas por meio das tangentes dos ângulos de 30 ° e 40,63 ° , haja vista os triângulos retângulos da figura aos quais pertencem. Dessa forma, tendo em vista que o cateto oposto do ângulo de 30 ° é a altura dos olhos do competidor em relação à superfície da água, observa-se que

t a n 30 ° = 3   m - 1   m d 1 ⇒ d 1 = 2 3 3   m ≈ 3,46   m

De forma similar,

t a n 40,63 ° = d 2 1   m ⇒ d 2 ≈ 1 × 0,86   m ≈ 0,86   m

Passo 3

Por fim, o ângulo x pedido pode ser obtido através da sua tangente, uma vez que as medidas dos catetos do triângulo retângulo onde ele se insere são valores já conhecidos.

t a n x = 3   m d 1 + d 2 ⇒ x ≈ a r c t a n 3   m 3,46   m + 0,86   m ≈ 35 °

Resposta

35 ° .

Ver Outros Exercícios desse livro