Considere um conjunto de cargas positivas movendo-se numa região confinada, como prótons em um núcleo, e interagindo com um campo externo de radiação eletromagnética. A densidade de carga sendo \rho, a densidade de corrente será ~\rhov, onde v é a velocidade característica das cargas em movimento. Mostre que a energia de interação entre o momento dipolar magnético das cargas e o campo magnético externo é ~v/c vezes menor do que a energia de interação entre 0 momento dipolar elétrico e o campo elétrico externo. Uma vez que os valores dos elementos de matriz correspondentes à radiação dipolar magnética e à radiação dipolar elétrica são proporcionais a essas energias de interação e como as taxas de transição são proporcionais aos “quadrados” dos elementos de matriz, a taxa de transição dipolar magnética é menor do que a taxa de transição dipolar elétrica por um fator da ordem de (v/c)^2. (Sugestão:(i) Mostre que a razão entre as energias de interação é igual ao produto da razão entre os momentos dipofares magnético e elétrico e da razão entre as intensidades dos campos magnético e elétrico, (ii) Argumente que a razão entre os momentos dipolares magnético e elétrico é igual à razão entre a densidade de correntes e a densidade de carga. (iii) Estime a razão entre as intensidades dos campos magnético e elétrico para a radiação eletromagnética no vácuo.)

A gente sabe que o potencial de energia de um dipolo magnético no campo magnético é:

Da mesma forma, o potencial de energia de um dipolo elétrico em um campo elétrico é:

Dividindo a energia de potencial magnético pela energia de potencial elétrico:

Agora, a gente pode assumir que os dipolos são alinhados paralelamente com os campos que eles interagem, então o produto vetorial pode ser simplificado a uma multiplicação

A magnitude do momento do dipolo magnético é definida como:

Onde, é a corrente passando através do centro aberto do loop circunscrevendo uma área .

A corrente é definida como o produto da densidade da corrente e área do loop:

Substituindo essa definição de na definição do momento de dipolo magnético:

A magnitude do momento do dipolo elétrico é definida como:

Aqui, é a magnitude das cargas opostas do dipolo, e é a distância que separa eles.

Definimos a carga como o produto da densidade da carga e o volume :

Substituindo essa definição de na definição do momento de dipolo elétrico:

Agora a gente substitui os resultados obtidos na equação obtida no Passo 2:

Definimos a área como o quadrado da distância característica entre as cargas :

Seguindo o mesmo raciocínio, definimos o volume como o cubo de :

Substituindo na relação:

Podemos simplificar ainda mais a expressão, definindo o campo elétrico como o produto do campo magnético e a velocidade da luz

Substituindo na expressão: