Considere um conjunto de cargas positivas q movendo-se em uma região de dimensões lineares e interagindo com a componente elétrica de um campo externo de radiação eletromagnética de comprimento de onda ~\lambda. Mostre que a energia de interação entre o momento quadrupolar elétrico das cargas e o campo elétrico externo é vezes menor do que a energia de interação entre o momento dipolar elétrico e o campo elétrico externo. Devido às razões indicadas no problema 14, esse resultado leva à conclusão de que a taxa de transição quadrupolar elétrica é menor do que a taxa de transição dipolar elétrica por um fator da ordem de ~ (r'/\lambda)2. (Sugestão: (i) Considere um campo elétrico senoidal E = E_0 sen 2\pi(x/\lambda-vt). (ii) A energia do dipolo elétrico é o produto de E pelo seu momento dipolar ~ qr’ (iii) A energia do momento quadrupolar elétrico é dE/dx vezes seu momento quadrupolar ~ qr’2.)

Calculando o potencial de energia do momento do dipolo elétrico em um campo elétrico externo multiplicando a magnitude do campo pelo momento do dipolo elétrico :

Fazendo o campo elétrico como o campo de amplitude variando de forma sinusoidal em dimensões especiais e o tempo com um comprimento de onda e frequência :

Assumindo que esse campo é geralmente igual ao máximo da amplitude:

Substituindo na expressão para

Calculando o potencial de energia do momento do quadrupolo elétrico em um campo elétrico externo por multiplicando a derivada espacial do campo pelo seu momento quadrupolar :

Derivando com respeito a :

Assumindo que é geralmente igual a amplitude máxima dividida pelo comprimento de onda:

Substituindo na expressão para :

Dividindo a energia potencial do quadrupolo pela energia potencial :