Considere a discussão do potencial centrifugo da seção 15-18 e então:

A – Escreva a equação que determina a dependência radial R ( r ) da autofunção do dêuteron, calculando (7-17) para l = 0 .

B – Mostre que ela também pode ser escrita sob a forma

- h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + V r u r = E u r

Onde

u r = r R ( r )

C – Compare essa expressão com a equação de Schroedinger independente do tempo para problemas unidimensionais.

D – Dê uma interpretação física de u * r u ( r ) .

E – Calcule e dê uma interpretação física da massa reduzida μ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

A - Para escrever uma função radial na função de onda R para o deuteron ligado ao campo do nucleon, temos a seguinte relação:

- h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + V r u r = E u r

Nesse caso, μ é a massa reduzida do sistema, quando o número da órbita angular l é 0, a equação de Schroedinger é necessária nesse caso, e vamos mudar um pouquinho a escrita, usando coordenadas esféricas.

1 r 2 d d r r 2 d R d r + 2 μ h 2 E - V r R = l l + 1 R r 2    

Como comparação, a equação de Schroedinger para uma única variável é dada por:

- h 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V x Ψ x = E Ψ x

Como l = 0, nós temos a seguinte configuração para este caso:

1 r 2 d d r r 2 d R d r + 2 μ h 2 E - V r R =   0

Agora é somente aplicar a derivada com respeito para r nos parênteses:

1 r 2 d d r r 2 d R d r + 2 μ h 2 E - V r R = 0  

Manipulando as equações, temos que:

1 r 2 d R d r d d r r 2 + r 2 d d r d R d r + 2 μ h 2 E - V r R = 0  

Com isso, obtemos o seguinte resultado:

1 r 2 d R d r 2 r + r 2 d 2 R d r 2 + 2 μ h 2 E - V r R = 0

E finalmente nós temos que

2 r d R d r + d 2 R d r 2 + 2 μ h 2 E - V r R = 0  

Portanto, a equação que governa a função radial da função de onda do deuteron é igual a:

2 r d R d r + d 2 R d r 2 + 2 μ h 2 E - V r R = 0

Passo 2

B – Para a letra B, nós temos que para mostrar o resultado da parte anterior pode ser descrito como equação encontrada na letra anterior, a substituição de u r = r R ( r ) é necessária, agora nós vamos rearranjar para resolver para R ( r ) .

u r = r R r

Passando o termo r para o outro lado, temos que:

u r r = R ( r )

Esse novo termo vai ser usado para substituir o R na equação encontrada na letra A, com isso nós temos a seguinte configuração:

d 2 R d r 2 + 2 r d R d r + 2 μ h 2 E - V r R = 0

Substituindo, nós temos:

d 2 d r 2 u r r + 2 r d d r u r r + 2 μ h 2 E - V r u r r = 0

Como derivar esses termos será algo mais “braçal”, então vamos fazer isso separadamente, logo a primeira derivada (que vamos usar a derivada da divisão) é dada por

d d r u r r = r d u r d r - d r d r u r r 2 = r d u r d r - u ( r ) r 2

Para a segunda derivada, já sabe, vamos pegar a derivada da primeira derivada, com isso

d 2 d r 2 u r r = d d r 1 r d u r d r - u r r 2

Agora vem a parte “braçal” disso tudo, uma derivada será pelo produto e a outra pela divisão, juntando essa salada de frutas matemáticas, temos que

d 2 d r 2 u r r = d d r 1 r d u r d r + 1 r d d r d u r d r - d u r d r r 2 - u r d d r r 2 r 4

Desenvolvendo o termo, nós temos:

d 2 d r 2 u r r =   - 1 r 2 d u r d r + 1 r d 2 u r d r 2 - r 2 d u r d r - 2 r u r r 4

Reduzindo os termos, conseguimos a seguinte configuração

d 2 d r 2 u r r = - 1 r 2 d u r d r + 1 r d 2 u r d r 2 - 1 r 2 d u r d r + 2 u r r 3

Agora, é colocar na equação da letra a, com isso, ela fica desse jeito aqui

1 r d 2 u r d r 2 - 2 r 2 d u r d r + 2 u r r 3 + 2 r 1 r d u r d r - u r r 2 + 2 μ h 2 E - V r u r r = 0

Agrupando os termos em comum, temos que

1 r d 2 u r d r 2 - 2 r 2 d u r d r + 2 u r r 3 + 2 r 2 d u r d r - 2 u r r 3 + 2 μ h 2 E - V r u r r = 0  

Já percebeu que muitos termos irão ser simplificados, logo essa coisa assustadora se torna algo mais tranquilo, do tipo

1 r d 2 u r d r 2 + 2 μ h 2 E - V r u r r = 0

Simplificando um pouco mais, nós temos que

d 2 u r d r 2 + 2 μ h 2 E - V r u r = 0

Agora vamos rearranjar para deixar o termo de energia do lado direito, com isso primeiramente, nós vamos usar a propriedade distributiva, logo

h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + E u r - V r u r = 0

Passando o E para outro lado, temos que

h 2 2 μ d 2 u r d r 2 - V r u r =   - E u ( r )

E modificando o sinal para deixar o termo E positivo

- h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + V r u r = E u ( r )

Logo, essa equação pode ser escrita como da forma encontrada pela letra a 😊

Passo 3

C – O resultado da letra anterior é muito similar a equação de Schroedinger independente do tempo, se ainda está com dúvidas é só comparar

- h 2 2 m d 2 Ψ d x 2 + V x Ψ x = E Ψ x     ( E q .   d e   S c h r o e d i n g e r )

- h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + V r u r = E u r   ( E q .   e n c o n t r a d a )

Como se pode ver, a forma é idêntica, o que muda são somente as variáveis 😊.

Passo 3

D – Uma vez que Ψ * x Ψ ( x ) dá a amplitude de probabilidade (a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado ponto), portanto, o termo Ψ * r Ψ ( r ) fornecerá de forma semelhante a amplitude de probabilidade, dado que r, neste caso, é uma medida da distância entre o próton e o nêutron no deuteron, o termo u * r u ( r ) dará a probabilidade da distância entre eles ser um valor r.

Passo 4

E – Quando se usa a massa reduzida do próton e nêutron para a equação permite que você trate um deles como sendo estacionário no centro do sistema de coordenadas, com o outro nucleon orbitando. Isso simplifica os cálculos, em vez de tratá-los como se movendo em um referencial inercial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro