Considere a discussão do potencial centrifugo da seção 15-18 e então:
A – Escreva a equação que determina a dependência radial da autofunção do dêuteron, calculando (7-17) para .
B – Mostre que ela também pode ser escrita sob a forma
Onde
C – Compare essa expressão com a equação de Schroedinger independente do tempo para problemas unidimensionais.
D – Dê uma interpretação física de .
E – Calcule e dê uma interpretação física da massa reduzida .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
A - Para escrever uma função radial na função de onda R para o deuteron ligado ao campo do nucleon, temos a seguinte relação:
Nesse caso, é a massa reduzida do sistema, quando o número da órbita angular é 0, a equação de Schroedinger é necessária nesse caso, e vamos mudar um pouquinho a escrita, usando coordenadas esféricas.
Como comparação, a equação de Schroedinger para uma única variável é dada por:
Como l = 0, nós temos a seguinte configuração para este caso:
Agora é somente aplicar a derivada com respeito para nos parênteses:
Manipulando as equações, temos que:
Com isso, obtemos o seguinte resultado:
E finalmente nós temos que
Portanto, a equação que governa a função radial da função de onda do deuteron é igual a:
Passo 2
B – Para a letra B, nós temos que para mostrar o resultado da parte anterior pode ser descrito como equação encontrada na letra anterior, a substituição de é necessária, agora nós vamos rearranjar para resolver para .
Passando o termo r para o outro lado, temos que:
Esse novo termo vai ser usado para substituir o R na equação encontrada na letra A, com isso nós temos a seguinte configuração:
Substituindo, nós temos:
Como derivar esses termos será algo mais “braçal”, então vamos fazer isso separadamente, logo a primeira derivada (que vamos usar a derivada da divisão) é dada por
Para a segunda derivada, já sabe, vamos pegar a derivada da primeira derivada, com isso
Agora vem a parte “braçal” disso tudo, uma derivada será pelo produto e a outra pela divisão, juntando essa salada de frutas matemáticas, temos que
Desenvolvendo o termo, nós temos:
Reduzindo os termos, conseguimos a seguinte configuração
Agora, é colocar na equação da letra a, com isso, ela fica desse jeito aqui
Agrupando os termos em comum, temos que
Já percebeu que muitos termos irão ser simplificados, logo essa coisa assustadora se torna algo mais tranquilo, do tipo
Simplificando um pouco mais, nós temos que
Agora vamos rearranjar para deixar o termo de energia do lado direito, com isso primeiramente, nós vamos usar a propriedade distributiva, logo
Passando o E para outro lado, temos que
E modificando o sinal para deixar o termo E positivo
Logo, essa equação pode ser escrita como da forma encontrada pela letra a 😊
Passo 3
C – O resultado da letra anterior é muito similar a equação de Schroedinger independente do tempo, se ainda está com dúvidas é só comparar
Como se pode ver, a forma é idêntica, o que muda são somente as variáveis 😊.
Passo 3
D – Uma vez que dá a amplitude de probabilidade (a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado ponto), portanto, o termo fornecerá de forma semelhante a amplitude de probabilidade, dado que r, neste caso, é uma medida da distância entre o próton e o nêutron no deuteron, o termo dará a probabilidade da distância entre eles ser um valor r.
Passo 4
E – Quando se usa a massa reduzida do próton e nêutron para a equação permite que você trate um deles como sendo estacionário no centro do sistema de coordenadas, com o outro nucleon orbitando. Isso simplifica os cálculos, em vez de tratá-los como se movendo em um referencial inercial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)