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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 7

Considere uma partícula passando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais apresentadas na seção 6-5, que dão a forma de ψ nas diferentes regiões do potencial. (a) Encontre então as quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando ψ e d ψ / d x nos limites entre essas regiões. (b) Use estas relações para calcular o coeficiente de transmissão T , verificando assim (6-51).

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema vamos fazer o mesmo que fizemos no exercício 5, mas agora vamos considerar E > V 0 , de modo que a função de onda em cada região é dada por

ψ x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x ,                   x < 0 F e - i k 3 x + G e i k 3 x ,               0 < x < a C e i k 1 x ,                             x > a

As constantes k 1 e k 3 são dadas por

k 1 = 2 m E ℏ               e             k 3 = 2 m E - V 0 ℏ

Repare que a forma da função de onda é a mesma do problema 5, trocando k 2 por i k 3 . Isso vai nos poupar muito tempo!

Passo 2

Ao invés de repetir todas as contas (o que iria demorar bastante), podemos simplesmente pegar os resultados do problema 5 e trocar k 2 por i k 3 .

A expressão obtida no problema 5 para o coeficiente de transmissão era

T = 1 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a = 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a - 1

A única possível alteração está no termo:

sinh ⁡ k 2 a = e k 2 a - e - k 2 a 2 = e - i k 3 a - e i k 3 a 2 = - i sin ⁡ k 3 a

Portanto,

sinh 2 ⁡ k 2 a → - sin 2 ⁡ k 3 a

Assim,

T = 1 - 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sin 2 ⁡ k 2 a - 1

Invertendo o sinal do termo 1 - E / V 0 , recuperemos a equação (6-51):

T = 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 E V 0 - 1 sin 2 ⁡ k 2 a - 1

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro