Um construtor de tubos de TV está tentando melhorar a resolução da imagem mantendo o custo baixo, por meio de um canhão de elétrons que produza um feixe que faça o menor ponto possível na face do tubo, usando apenas um catodo emissor de elétrons seguido por um sistema de duas aberturas. (a) Mostre que há um diâmetro ótimo para a segunda abertura. (b) Usando valores razoáveis para os parâmetros dos tubos de TV, estime o tamanho do ponto que é o mínimo possível.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Basicamente, o que queremos nesse problema é estudar a difração do elétron ao atravessar uma fenda. Uma discussão sobre isso foi feita na figura 3-10 do livro:

O feixe de elétrons atravessa a primeira abertura e é difratado. Para que a segunda abertura capte a região central de interferência, devemos ter

tan ⁡ θ = D / 2 L ,

onde D é o diâmetro da segunda abertura e L é a distância entre as fendas, isto é, o comprimento do tubo da TV. Portanto,

tan ⁡ θ = D 2 L

Considerando que o ângulo θ é muito pequeno, podemos escrever

s e n   θ ≈ tan ⁡ θ → s e n   θ = D 2 L

Passo 2

No livro, foi deduzido discutido que

s e n   θ = λ Δ y ,

onde λ é o comprimento de onda do elétron e Δ y é abertura da primeira fenda. Com isso, temos

λ Δ y = D 2 L

Por fim, podemos isolar D :

D = 2 L λ Δ y

Essa é abertura ótima para a segunda fenda!

Passo 3

Agora vamos estimar a abertura D para uma TV de tubo. Uma boa estimativa para o tamanho do tubo da TV é algo em torno de dezenas de centímetros. Vamos tomar meio metro:

L ≈ 0,5   m

Além disso, para que ocorra difração na primeira fenda, devemos ter

λ Δ y ≪ 1

Isso significa que o comprimento de onda do elétron deve ser algumas ordens de grandeza menor que Δ y . Geralmente, três ordens de grandeza já são suficientes, de modo que

λ Δ y ≈ 10 - 3

Assim,

D ≈ 2 ⋅ 0,5   m ⋅ 10 - 3 = 10 - 3   m

Portanto, uma estimativa razoável é da ordem de alguns milímetros, talvez dezenas de milímetros (poucos centímetros).

D ≈ 1   m m

Resposta

D ≈ 1   m m

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