Um construtor de tubos de TV está tentando melhorar a resolução da imagem mantendo o custo baixo, por meio de um canhão de elétrons que produza um feixe que faça o menor ponto possível na face do tubo, usando apenas um catodo emissor de elétrons seguido por um sistema de duas aberturas. (a) Mostre que há um diâmetro ótimo para a segunda abertura. (b) Usando valores razoáveis para os parâmetros dos tubos de TV, estime o tamanho do ponto que é o mínimo possível.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Basicamente, o que queremos nesse problema é estudar a difração do elétron ao atravessar uma fenda. Uma discussão sobre isso foi feita na figura 3-10 do livro:
O feixe de elétrons atravessa a primeira abertura e é difratado. Para que a segunda abertura capte a região central de interferência, devemos ter
onde é o diâmetro da segunda abertura e é a distância entre as fendas, isto é, o comprimento do tubo da TV. Portanto,
Considerando que o ângulo é muito pequeno, podemos escrever
Passo 2
No livro, foi deduzido discutido que
onde é o comprimento de onda do elétron e é abertura da primeira fenda. Com isso, temos
Por fim, podemos isolar :
Essa é abertura ótima para a segunda fenda!
Passo 3
Agora vamos estimar a abertura para uma TV de tubo. Uma boa estimativa para o tamanho do tubo da TV é algo em torno de dezenas de centímetros. Vamos tomar meio metro:
Além disso, para que ocorra difração na primeira fenda, devemos ter
Isso significa que o comprimento de onda do elétron deve ser algumas ordens de grandeza menor que . Geralmente, três ordens de grandeza já são suficientes, de modo que
Assim,
Portanto, uma estimativa razoável é da ordem de alguns milímetros, talvez dezenas de milímetros (poucos centímetros).