Mostre que para sejamos capazes de determinar através de que fenda, em um sistema de duas fendas, um fóton vai passar sem destruir a figura de difração das duas fendas, a condição Δ y Δ p y ≪ ℏ / 2 deve ser satisfeita. Como essa condição viola o princípio da incerteza, não podemos satisfazê-la.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos considerar a seguinte situação: atrás de cada fenda é colocado um elétron. Assim, quando o fóton atravessa a fenda ele vai ser espalhado pelo elétron (no mesmo estilo efeito Compton).

Seja Δ y o espalhamento devido a colisão fóton-elétron. Se Δ y for muito maior que o espaçamento d entre as fendas não será possível identificar qual elétron foi espalhado, isto é, não será possível identificar por qual fenda o fóton passou. Portanto, devemos considerar

Δ y ≪ d 4 π

O fator 4 π é opcional, coloquei ele aí para as contas fecharem bonitinho, mas só estamos interessados em ordem de grandeza.

Passo 2

Devido a colisão com o elétron, o momento do fóton que antes era p varia por uma quantidade Δ p y na direção y . Podemos relacionar o ângulo de espalhamento θ usando o triângulo retângulo:

Temos que

tan ⁡ θ = Δ p y p

Considerando ângulos pequenos, temos

tan ⁡ θ ≈ θ → Δ p y p = θ

Por outro lado, o ângulo que dita as regras da interferência é dado por

θ i n t e r f ≈ λ d

Para que o padrão de interferência não seja destruído, o ângulo de espalhamento θ deve ser muito menor que o ângulo de interferência:

θ ≪ θ i n t e r f → Δ p y p ≪ λ d

Mas como λ p = h , temos

Δ p y ≪ h d

Passo 3

Bom, se x ≪ X e y ≪ Y , então é óbvio que

x y ≪ X Y

Assim, como Δ y ≪ d / 4 π e Δ p y ≪ h / d , temos que

Δ y Δ p y ≪ d 4 π ⋅ h d = h 4 π = 1 2 ⋅ h 2 π

Como ℏ = h / 2 π , temos

Δ y Δ p y ≪ ℏ 2

Provamos o que foi pedido!

Isso claramente viola o princípio da incerteza. Sendo assim, é impossível descobrir por qual fenda o fóton passou sem interferir o padrão de interferência.

Resposta

Demonstração.

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