Deduza (4-5), que relaciona a distância de maior aproximação e o parâmetro de impacto com o ângulo de espalhamento.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos seguir a ideia sugerido no próprio livro! Ele fala que a equação (4-5) é deduzida a partir da equação (4-3):

1 r = 1 b s e n   φ + D 2 b 2 ( cos ⁡ φ - 1 )

Ele pede para tomarmos o limite r → ∞ e considerar φ = π - θ .

Passo 2

Tomando o limite r → ∞ , obtemos

1 b s e n   φ + D 2 b 2 ( cos ⁡ φ - 1 )

Além disso,

s e n   φ = s e n   π - θ = s e n   θ

cos ⁡ φ = cos ⁡ π - θ = - cos ⁡ θ

Assim,

1 b s e n   θ - D 2 b 2 cos ⁡ θ + 1 = 0

Passo 3

Logo,

s e n   θ = D 2 b cos ⁡ θ + 1

Elevamos essa equação ao quadrado:

s e n 2 θ = D 2 4 b 2 cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 1

Como s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ , temos

1 - cos 2 ⁡ θ = D 2 4 b 2 cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 1

Logo, juntando os termos

1 + D 2 4 b 2 cos 2 ⁡ θ + D 2 2 b 2 cos ⁡ θ + D 2 4 b 2 - 1 = 0

Essa é uma equação de segundo grau na variável cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = - D 2 2 b 2 ± D 2 2 b 2 2 - 4 ⋅ D 2 4 b 2 + 1 D 2 4 b 2 - 1 2 ⋅ 1 + D 2 4 b 2

Assim, temos

cos ⁡ θ = - D 2 2 b 2 ± D 2 2 b 2 2 - D 2 4 b 2 2 + 4 2 ⋅ 1 + D 2 4 b 2 = - D 2 2 b 2 ± 2 2 ⋅ 1 + D 2 4 b 2

Ou ainda,

cos ⁡ θ = 2 ⋅ - D 2 4 b 2 ± 1 2 ⋅ 1 + D 2 4 b 2 = - D 2 4 b 2 ± 1 1 + D 2 4 b 2

Vamos considerar o sinal de mais no numerador para que o cosseno seja positivo:

cos ⁡ θ = 1 - D 2 4 b 2 1 + D 2 4 b 2

Por uma questão de simplicidade, vamos chamar x 2 = D 2 / 4 b 2 :

cos ⁡ θ = 1 - x 2 1 + x 2

Passo 4

Agora que temos cos ⁡ θ , vamos achar o seno:

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 1 - x 2 2 1 + x 2 2 = 1 + 2 x 2 + x 4 - 1 - 2 x 2 + x 4 1 + x 2 2

Assim,

s e n 2 θ = 4 x 2 1 + x 2 2 → s e n   θ = 2 x 1 + x 2

Agora vamos usar a relação:

cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1 → cos 2 ⁡ θ 2 = 1 + cos ⁡ θ 2

Portanto,

cos 2 ⁡ θ 2 = 1 2 1 + 1 - x 2 1 + x 2 = 1 1 + x 2 → cos ⁡ θ 2 = 1 1 + x 2

Com isso, podemos achar o seno também:

s e n 2 θ 2 = 1 - cos 2 ⁡ θ 2 = 1 - 1 1 + x 2 = x 2 1 + x 2

Logo,

s e n   θ 2 = x 1 + x 2

Desta forma,

c o t g   θ 2 = cos ⁡ θ 2 s e n   θ 2 = 1 1 + x 2 x 1 + x 2 = 1 x

Como x 2 = D 2 / 4 b 2 , temos que

x = D 2 b → 1 x = 2 b D

Portanto,

c o t g   θ 2 = 2 b D

Essa é a relação pedida!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro