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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 36.Problemas adicionais - Ex. 110

Demonstre a Eq. 36-28, a expressão da meia largura das linhas da figura de difração de uma rede.

Passo 1

Bom! A gente tem aí uma questão pra demonstrar uma equação, a seguinte equação abaixo...

∆ θ m l = λ N d cos ⁡ θ

Pois muito bem! Vamos lá!

Se liga só!

No primeiro mínimo após o máximo principal de ordem

No primeiro mínimo após o máximo principal de ordem m , duas ondas provenientes de fendas vizinhas têm uma diferença de fase de ∆ ϕ = 2 π m + 2 π / N , em que N é o número de fendas. Sendo assim, temos uma diferença de percurso correspondente de...

∆ L = ∆ ϕ 2 π λ = m λ + λ N

Se θ m é a posiç ão angular do máximo de ordem m, a diferença de percurso também é dada por...

∆ L = d sen ⁡ ( θ m + ∆ θ )

Assim, temos que...

∆ L = m λ + λ N

d sen ⁡ ( θ m + ∆ θ ) = m λ + λ N

Passo 2

Agora, vamos pensar na seguinte identidade trigonométrica...

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ b sen ⁡ a

Com isso, podemos escrever que...

sen ⁡ ( θ m + ∆ θ ) = sen ⁡ θ m cos ⁡ ∆ θ + cos ⁡ θ m sen ⁡ ∆ θ

E supondo um ângulo ∆ θ muito pequenininho, podemos escrever que...

sen ⁡ ∆ θ ≈ ∆ θ

cos ⁡ ∆ θ ≈ 1

E então;

sen ⁡ ( θ m + ∆ θ ) = sen ⁡ θ m cos ⁡ ∆ θ + cos ⁡ θ m sen ⁡ ∆ θ

sen ⁡ ( θ m + ∆ θ ) ≅ sen ⁡ θ m + ∆ θ cos ⁡ θ m

Subsituindo isso, na fórmula do P a s s o   1 ...

d sen ⁡ ( θ m + ∆ θ ) = m λ + λ N

d ( sen ⁡ θ m + ∆ θ cos ⁡ θ m ) = m λ + λ N

d sen ⁡ θ m + d ∆ θ cos ⁡ θ m = m λ + λ N

E como...

d sen ⁡ θ m = m λ

d ∆ θ cos ⁡ θ m = λ N

Verificamos que a igualdade é satisfeita. Desse modo...

d ∆ θ cos ⁡ θ m = λ N

∆ θ = λ N d cos ⁡ θ m

∆ θ m l = λ N d cos ⁡ θ

Obtemos a relação que estávamos procurando!

Resposta

∆ θ = λ N d cos ⁡ θ m

Costumamos chamar informalmente de “azul” o comprimento de onda de 400 nm e de “vermelho” o comprimento de onda

Costumamos chamar informalmente de “azul” o comprimento de onda de 400 nm e de “vermelho” o comprimento de onda

em que q é a posição angular da linha associada ao comprime

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