Demonstre a expressão (15-16) que relaciona o valor de Q de uma reação nuclear com as quantidades dinâmicas envolvidas na reação. (Sugestão: Escreva as equações de conservação das componentes do momento linear relativas às direções paralelas e perpendicular
à direção da partícula incidente. Elimine em seguida destas equações o ângulo formado
pela direção do núcleo residual e a direção da partícula incidente.)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Aqui, é uma partícula de bombardeio que interage com um núcleo alvo A para produzir um núcleo residual B e uma partícula de produto b. Aplicando a conservação de momento de modo separado, isso às direções paralelas e perpendiculares ao caminho da partícula de bombardeio e definindo os termos iguais entre si, nós teremos os componentes do momento na direção paralela antes e depois da colisão.
Aqui, e são os momentos do núcleo residual e da partícula de produto, e é o momento da partícula de bombardeio, que por definição, só tem um componente nesta direção, é o ângulo entre o caminho da partícula de produto e a direção e finalmente é o ângulo entre o caminho do núcleo residual e a direção paralela. Aplicando a conservação do momento na direção perpendicular, nós temos:
Passo 2
Rearranjando os termos na equação paralela para isolar o momento do núcleo residual, nós temos:
Elevando os dois termos ao quadrado, obtemos o seguinte resultado:
Desenvolvendo os termos, nós temos:
Reorganizando os termos na equação perpendicular para isolar o momento residual do núcleo
Elevando também esses dois termos, nós obtemos o resultado:
Somando as equações paralelas e perpendiculares, nós temos:
Agrupando os termos com fatores comuns:
Usando a definição trigonométrica (essa mesmo que você está pensando, que é a relação fundamental da trigonometria)
Substituindo o 1 na equação gerada acima, nós obtemos o seguinte resultado:
Passo 3
Agora, vamos supor que todas as partículas na reação tenham energia cinética pequena em comparação com suas energias/massas de repouso, para isso nós vamos usar a definição clássica da energia cinética (K) em termos de momento p e massa m:
Resolvendo para p, nós temos:
Com isso, nós temos:
Usando esta relação para substituir para , e segue para todos os outros termos na equação de conservação de momento, com isso, nós temos:
Desenvolvendo o termo, nós temos:
Desenvolvendo um pouquinho mais (vai por mim, é para facilitar o trabalho)
Dividindo por para obter , nós temos:
Desenvolvendo este termo, temos que:
Com isso, temos o seguinte resultado (fazendo as devidas simplificações)
Passo 4
O valor Q desta reação nuclear é dado em termos das energias cinéticas das partículas antes e depois da reação com a seguinte relação:
Aqui, e são as energias cinéticas da partícula do produto e partícula de bombardeio, respectivamente, com isso, o núcleo alvo é assumido como em repouso, com isso, sua energia cinética é igual a zero. Agora nós temos que substituir a expressão obtida para a energia cinética do núcleo residual por no valor-Q
Agrupando os fatores comuns na equação, temos que
Portanto, no limite clássico, o valor-Q em uma reação nuclear é igual a:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)