Demonstre que as integrais em (16-26) e (16-27), que representam componentes dos elementos de matriz quadrupolar elétrico e dipolar magnético, são nulas, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.

Passo 1

Saalve, tranquilo?

Vamos lá resolver mais uma questão de física quântica?!

Passo 2

O primeiro componente da matriz de quadrupolo elétrico é:

M ∝ ∫ ψ f * x 2 ψ i d τ

Aqui, ψ i e ψ f são as funções de onda nuclear inicial e final, respectivamente, x é a distância ao longo do eixo x , e d τ é o elemento de volume diferencial. Fazendo a operação de paridade na função x 2 substituindo - x por x :

P x 2 = - x 2 = x 2

O resultado é o mesmo que a função original, então x 2 tem paridade par. Se as funções de onda nuclear inicial e final forem de paridade oposta, o produto π das paridades das funções no integrando é:

π = par × par × ímpar

Use as regras de multiplicação de funções pares e ímpares, em que o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é par e o produto de uma função par e de uma função ímpar é ímpar, para avaliar a paridade do integrando:

π = par × par × ímpar = par × ímpar = ímpar

A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é sempre zero, portanto, se o integrando de M for ímpar porque os estados nucleares inicial e final têm paridades opostas, então a integral em todo o espaço é zero e, portanto, M é zero.

Portanto, M é zero, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.

Passo 3

O primeiro componente da matriz de dipolo magnético é:

M ∝ ∫ ψ f * y d z d t - z d y d t ψ i d τ

Aqui, y e z são as distâncias ao longo dos eixos y e z , respectivamente, d / d t é a derivada com respeito ao tempo, e o termo em parênteses é o operador L x . Fazendo a operação de paridade na variável y :

P y = - y

O resultado é negativo da função original, então a paridade é ímpar. Então, ambos y e z tem paridade ímpar. Fazendo a operação de paridade na derivada d y / d t :

P d y d t = d - y d t = - d y d t

Então as derivadas d y / d t e d z / d t são ímpares também. Multiplicando as paridades de todos os termos no operador L x usando as regras de funções ímpares e pares:

L x = ímpar × ímpar - ímpar × ímpar = par - par

A diferença de duas funções pares também é par, então o operador L x é par. Portanto, o integrando do primeiro componente do elemento de matriz dipolo magnética terá as mesmas propriedades que o integrando do primeiro componente do elemento de matriz quadrupolo elétrico, e M será novamente zero, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.

Resposta

Demonstração nos passos.

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