Demonstre que as integrais em (16-26) e (16-27), que representam componentes dos elementos de matriz quadrupolar elétrico e dipolar magnético, são nulas, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.
Passo 1
Saalve, tranquilo?
Vamos lá resolver mais uma questão de física quântica?!
Passo 2
O primeiro componente da matriz de quadrupolo elétrico é:
Aqui, e são as funções de onda nuclear inicial e final, respectivamente, é a distância ao longo do eixo , e é o elemento de volume diferencial. Fazendo a operação de paridade na função substituindo por :
O resultado é o mesmo que a função original, então tem paridade par. Se as funções de onda nuclear inicial e final forem de paridade oposta, o produto das paridades das funções no integrando é:
Use as regras de multiplicação de funções pares e ímpares, em que o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é par e o produto de uma função par e de uma função ímpar é ímpar, para avaliar a paridade do integrando:
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é sempre zero, portanto, se o integrando de for ímpar porque os estados nucleares inicial e final têm paridades opostas, então a integral em todo o espaço é zero e, portanto, é zero.
Portanto, é zero, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.
Passo 3
O primeiro componente da matriz de dipolo magnético é:
Aqui, e são as distâncias ao longo dos eixos e , respectivamente, é a derivada com respeito ao tempo, e o termo em parênteses é o operador . Fazendo a operação de paridade na variável :
O resultado é negativo da função original, então a paridade é ímpar. Então, ambos e tem paridade ímpar. Fazendo a operação de paridade na derivada :
Então as derivadas e são ímpares também. Multiplicando as paridades de todos os termos no operador usando as regras de funções ímpares e pares:
A diferença de duas funções pares também é par, então o operador é par. Portanto, o integrando do primeiro componente do elemento de matriz dipolo magnética terá as mesmas propriedades que o integrando do primeiro componente do elemento de matriz quadrupolo elétrico, e será novamente zero, a menos que os estados nucleares inicial e final tenham a mesma paridade.
Resposta
Demonstração nos passos.