Deseja-se encostar uma tabua de comprimento L e massa M formando um ângulo α com

a parede. Se o coeficiente de atrito estático entre a tabua e o chão for μ e supondo que não exista atrito entre a α   tábua e a parede, qual deve ser o angulo α para que a tábua se mantenha em equilíbrio estático?

A forca peso M g está aplicada no centro da tábua.

Passo 1

O primeiro elaborar um DCL, esquematizando as forças atuantes em cada ponto do sistema:

Passo 2

Para a tábua permanecer estática ou em equilíbrio estático:

∑ F → x = 0 ; ∑ F → y = 0   e   a   ∑ τ O = 0

Aplicando as condições de equilíbrio, podemos deduzir nossas equações:

Passo 3

Vamos começar pelas forças em x :

∑ F → x = 0

N → p a r e d e - F → a t = 0   ⟹     N → p a r e d e = F → a t  

Mas:

F a t = M ⋅ g ⋅ μ Subst. na equação:

N → p a r e d e = M ⋅ g ⋅ μ       I

Passo 4

Em y :

N → c h ã o - P → t á b u a = 0   ⟹ N → c h ã o = P → t á b u a

Porém sabemos que:

P → t á b u a = M ⋅ g     I I

Subst. temos que:

N → c h ã o = M ⋅ g

Passo 5

Vamos agora calcular o torque no ponto C , adotando como positivo o sentido anti-horário.

O torque no ponto C é gerado apenas pelo peso da tábua, e pela força normal de reação ao apoio na parede:

Vamos determinar as distâncias perpendiculares a linha de ação de cada uma das duas forças em relação ao ponto de rotação O :

P → t á b u a : Como a centro de massa da tábua está localizado no centro da tábua, então a distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto de rotação C , é a metade de   A C - :

Usamos o triângulo Δ A B C para determinar a distância   A C - :

A C - L = sin ⁡ α   ⟹       A C - = L sin ⁡ α  

Como o que queremos é   A C - 2 :

  A C 2 - = L 2 sin ⁡ α  

Para a força N → p a r e d e : A distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto C , é   A B - :

Semelhante a   A C - podemos determinar   A B - :

A B - L = cos ⁡ α     ⟹       A B - = L cos ⁡ α

Agora podemos determinar o torque:

Passo 6

∑ τ C = 0  

P → t á b u a ⋅ L 2 sin ⁡ α -   N → p a r e d e ⋅ L cos ⁡ α = 0  

P → t á b u a ⋅ L 2 sin ⁡ α = N → p a r e d e ⋅ L cos ⁡ α

Simplificando L dos dois lados, temos:

sin ⁡ α cos ⁡ α = 2 N → p a r e d e P → t á b u a       ⟹     tan ⁡ α = 2 N → p a r e d e P → t á b u a

α = arctan ⁡ 2 N → p a r e d e P → t á b u a     I I I

Subst. I   e   I I   e m   I I I

α = arctan ⁡ 2 M ⋅ g ⋅ μ       M ⋅ g simplificando M ⋅ g , temos: α = arctan ⁡ 2 μ

Resposta

∴ α = arctan ⁡ 2 μ

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