Determine a forma das cinco primeiras autofunções do oscilador harmônico simples calculando os coeficientes dos polinômios a partir da relação de recorrência desenvolvida no apêndice H.

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão, nós poderíamos resolver ela de uma maneira muito rápida usando a expressão para os Polinômios de Hermite. Mas, como nem tudo são flores, o livro pede para resolvermos analiticamente. Então, vamos às contas! Como ele nos deu uma colher de chá deixando as equações que iremos usar no apêndice H ( u ) , vamos usar as seguintes equações:

H ( u )   =   ∑ l = 0 ∞ a l u l   =   a 0 + a 1 u + a 2 u 2 + . . . (1)

que é a expressão para a função H que iremos descobrir. Agora partimos para a relação de recorrência também fornecida no apêndice H ( u ) da forma:

a l + 2 = ( β / α   -   1   - 2 l ) a l     ( l + 1 ) ( l + 2 )   . Nosso objetivo é usar essa relação de recorrência para encontrar uma função H ( u ) e substituir na nossa função de onda para um oscilador harmônico simples da forma:

ψ n ( u ) =   e x p ( - u 2 2 )   H n ( u )   .(2)

Passo 2

Vamos começar com a razão a l + 2 a l . Para valores de l muito grandes nossa função se aproxima da expressão 2 l .

1 / ( l / 2   + 1 ) ! 1 / ( l / 2 ) !   =   ( l / 2   ) ! ( l / 2 + 1 ) ! = ( l / 2   ) ! ( l / 2 + 1 ) ( l / 2 ) ! = 1 l / 2   + 1 ≃ 1 l / 2 = 2 l  

A função H ( u ) pode ser separada entre termos pares e ímpares como podemos ver:

H ( u )   =   a 0 + a 2 u ² + a 4 u ⁴ + . . .   ( p a r ) (3)

H ( u ) = a 1 u ¹ + a 3 u ³ + a 5 u ⁵ + . . .   ( í m p a r ) (4)

Para valores arbitrarios de β α , tanto a série par quanto a série ímpar permanecem infinitas. Então nosso objetivo é truncar (limitar/ tornar essa série finita) de modo que possamos ter autofunções aceitáveis para certos valores de β α . Para isso iremos fazer:

β α = 2 n + 1 , assim nossa relação de recorrência tem uma nova forma dada por:

a l + 2 = - 2 ( n - l ) ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l . (5)

Agora iremos para o trabalho braçal. A partir daqui vamos inserir valores para n e l de modo que possamos encontrar determinados valores de a l + 2   para que assim possamos substituir e encontrar as cinco primeiras autofunções do problema.

Nossas equações irão alternar entre par e ímpar para cada índice de l e n .

Para n = 0 , nossa relação de recorrência fica

a l + 2 = 2 l ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l ,

agora fazendo l = 0 .

a 2 = 0 .

Perceba que na função par para H ( u ) , resta apenas o termo a 0 . Escolhendo a 1 = 0 , nós acabamos de truncar a série para o primeiro termo. Assim nossa primeira autofunção será escrita Substituindo o valor encontrado acima, nas funções H ( u ) e ψ ( u ) .

ψ 0 ( u ) =   e x p ( u ² 2 ) a 0 .

Para n = 1

a l + 2 = - 2 + 2 l ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l ,

usamos agora a 0 = 0 , para que possamos trabalhar com a função ímpar, fazendo l = 1 ,

a 1 + 2 = - 2 + 2 ⋅ 1 ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) a 1 →   a 3 = 0

Com isso na parte ímpar ficamos apenas com H 1 ( u ) = a 1 u ,   onde nossa segunda autofunção será:

ψ 1 ( u ) =   e x p ( u ² 2 ) a 1 u .

Para n = 2 , temos

a l + 2 = - 4 + 2 l ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l ,

se l = 0 , temos

a 2 = - 4 2 a 0 = - 2 a 0 ,

para l = 2 , nosso termo fica

a 2 + 2 = - 4 + 4 ( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) a 2 → a 4 = 0 . Assim nossa função H ( u ) p a r fica truncada no termo

H 2 ( u ) = a 0 +   a 2 u ² = a 0 + ( - 2 a 0 )   u   ² = a 0 ( 1 - 2 u ² ) .

Substituindo H 2 ( u )   e m   ψ 2 ( u ) temos

ψ 2 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 0 ( 1 - 2 u ² ) .

Com isso já encontramos nossa terceira autofunção.

Para n = 3 ,

a l + 2 = - 6 + 2 l ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l ,

faremos l = 1 , para que assim tenhamos termos que envolvam a 1 .

a 3 = - 6 + 2 ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) a 1 = - 4 6 a 1 = - 2 3 a 1

se fizermos l = 3 , encontraremos a 5 = 0

a 5 = a 3 + 2 = - 6 + 6 ( 3 + 1 ) ( 3 + 2 ) a 3 = 0

assim truncamos a série até a 3 . Substituindo a 3 em H ( u ) , temos

H 3 ( u ) = a 1 u + a 3 u ³ = a 1 u - 2 3 a 1 u ³   = a 1 3 ( 3 u - 2 u ³ ) .

Agora iremos substituir H 3 ( u )   e m   ψ 3 ( u ) para encontrar nossa quarta autofunção na forma

ψ 3 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 1 3 ( 3 u - 2 u ³ ) .

Para n = 4 ,

a l + 2 = - 8 + 2 l ( l + 1 ) ( l + 2 ) a l

fazendo l = 0 , teremos a 2 = - 4 a 0

a 2 = - 8 2 a 0 = - 4 a 0

fazendo l = 2

a 4 = a 2 + 2 = - 8 + 4 ( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) a 2 = - 4 12 a 2 = - 1 3 a 2

fazendo l = 4 , teremos a 6 = 0

a 4 + 2 = a 6 = - 8 + 8 ( 4 + 1 ) ( 4 + 2 ) a 4 = 0

substituindo a 2 e a 4 em H ( u ) , teremos

H ( u ) = a 0 + a 2 u ² + a 4 u ⁴ = a 0 - 4 a 0 u ² - 1 3 a 2 u ⁴ =

= a 0 - 4 a 0 u ² - 1 3 ( - 4 ) a 0 u ⁴

=   a 0 - 4 a 0 u ² + 4 3 a 0 u ⁴ = a 0 ( 3 - 12 u ² + 4 u ⁴ 3 ) =

= a 0 3 ( 3 - 12 u ² + 4 u ⁴ ) ,

com essa última expressão iremos encontrar nossa quinta autofunção, onde ψ 4 ( u ) é dado na forma

ψ 4 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 0 3 ( 3 - 12 u ² + 4 u ⁴ ) .

Resposta

ψ 0 ( u ) =   e x p ( u ² 2 ) a 0 .

ψ 1 ( u ) =   e x p ( u ² 2 ) a 1 u .

ψ 2 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 0 ( 1 - 2 u ² ) .

ψ 3 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 1 3 ( 3 u - 2 u ³ ) .

ψ 4 ( u ) = e x p ( u ² 2 ) a 0 3 ( 3 - 12 u ² + 4 u ⁴ ) .

Com isso encerramos este problema. Partimos para o próximo.

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