Determine a forma das cinco primeiras autofunções do oscilador harmônico simples calculando os coeficientes dos polinômios a partir da relação de recorrência desenvolvida no apêndice H.
Passo 1
Bom pessoal, nessa questão, nós poderíamos resolver ela de uma maneira muito rápida usando a expressão para os Polinômios de Hermite. Mas, como nem tudo são flores, o livro pede para resolvermos analiticamente. Então, vamos às contas! Como ele nos deu uma colher de chá deixando as equações que iremos usar no apêndice , vamos usar as seguintes equações:
(1)
que é a expressão para a função H que iremos descobrir. Agora partimos para a relação de recorrência também fornecida no apêndice da forma:
. Nosso objetivo é usar essa relação de recorrência para encontrar uma função e substituir na nossa função de onda para um oscilador harmônico simples da forma:
.(2)
Passo 2
Vamos começar com a razão . Para valores de muito grandes nossa função se aproxima da expressão .
A função pode ser separada entre termos pares e ímpares como podemos ver:
(3)
(4)
Para valores arbitrarios de , tanto a série par quanto a série ímpar permanecem infinitas. Então nosso objetivo é truncar (limitar/ tornar essa série finita) de modo que possamos ter autofunções aceitáveis para certos valores de . Para isso iremos fazer:
, assim nossa relação de recorrência tem uma nova forma dada por:
(5)
Agora iremos para o trabalho braçal. A partir daqui vamos inserir valores para e de modo que possamos encontrar determinados valores de para que assim possamos substituir e encontrar as cinco primeiras autofunções do problema.
Nossas equações irão alternar entre par e ímpar para cada índice de e .
Para , nossa relação de recorrência fica
,
agora fazendo .
.
Perceba que na função par para , resta apenas o termo . Escolhendo , nós acabamos de truncar a série para o primeiro termo. Assim nossa primeira autofunção será escrita Substituindo o valor encontrado acima, nas funções e .
.
Para
,
usamos agora , para que possamos trabalhar com a função ímpar, fazendo
Com isso na parte ímpar ficamos apenas com onde nossa segunda autofunção será:
.
Para , temos
,
se , temos
,
para , nosso termo fica
. Assim nossa função fica truncada no termo
Substituindo temos
.
Com isso já encontramos nossa terceira autofunção.
Para
,
faremos , para que assim tenhamos termos que envolvam .
se fizermos , encontraremos
assim truncamos a série até . Substituindo em , temos
.
Agora iremos substituir para encontrar nossa quarta autofunção na forma
.
Para ,
fazendo , teremos
fazendo
fazendo , teremos
substituindo e em , teremos
,
com essa última expressão iremos encontrar nossa quinta autofunção, onde é dado na forma
.
Resposta
.
.
.
.
.
Com isso encerramos este problema. Partimos para o próximo.