Enunciado

Qual é a diferença entre as energias nas quais o fator de Fermi é 0,9 e 0,1 a 300 K em (a) cobre, (b) potássio e (c) alumínio.

Passo 1

(a) Hmmmm, temos fator de Fermi, temperatura e queremos diferença de energia. Podemos achar uma equação para a energia pela equação do fator de Fermi:

f E = 1 e E - E F k T + 1

Vamos isolar E aqui:

e E - E F k T + 1 = 1 f E

e E - E F k T = 1 f E - 1

Se a gente calcula o l n dos dois lados:

ln ⁡ e E - E F k T = ln ⁡ 1 f E - 1

E - E F k T = ln ⁡ 1 f E - 1

E - E F = k T ln ⁡ 1 f E - 1

E = E F +   k T ln ⁡ 1 f E - 1

Opa, achamos a equação para E ... Mas se liga: tá vendo que não tem nada nessa equação que dependa do material que estamos usando? Pois é, isso quer dizer que independentemente de ser cobre, potássio ou alumínio, teremos a mesma energia e, portanto, a mesma diferença de energia também!!

Vamos precisar calcular essa diferença de energia apenas uma vez hehe.

Passo 2

Então, agora, é só achar a diferença de energia para T = 300   K :

∆ E = E 0,1 - E 0,9

Achando E 0,1 :

E ( 0,1 ) = E F +   k T ln ⁡ 1 0,1 - 1

E E ( 0,9 ) :

E ( 0,9 ) = E F +   k T ln ⁡ 1 0 , 9 - 1

Subtraindo um do outro:

∆ E = E F +   k T ln ⁡ 1 0,1 - 1 - E F -   k T ln ⁡ 1 0,9 - 1

∆ E = k T ln ⁡ 1 0,1 - 1 -   k T ln ⁡ 1 0,9 - 1

Colocando k T em evidência:

∆ E = k T ln ⁡ 1 0,1 - 1 - ln ⁡ 1 0,9 - 1

Substituindo os valores, passando k para e V / K :

∆ E = ( 1,381 × 10 - 23   J / K ) ( 300   K ) 1,602 × 10 - 19   J / e V ln ⁡ 1 0,1 - 1 - ln ⁡ 1 0,9 - 1

∆ E = 0,114   e V

Essa será a resposta das 3 letras!! Já que, como vimos, a diferença de energia independe do material.

Resposta

(a)   ∆ E = 0,114   e V

(b)   ∆ E = 0,114   e V

(c) ∆ E = 0,114   e V

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