Um dipolo elétrico fica situado ao longo do eixo y, como mostra a Figura P20.82. O módulo de seu dipolo elétrico é definido como p = 2aq. (a) No ponto P, o qual é distante do dipolo (r a), vemos que o potencial elétrico é

V = k e pcos ⁡ θ r 2

(b) calcule o componente radial Er e o componente perpendicular Eq do campo elétrico associado. Perceba que E θ = - ( 1 / r ) ( ∂ V / ∂ θ ) . Estes resultados parecem justos para (c) q = 90º e 0º? (d) E para r = 0? (e) Para a disposição do dipolo exibido na Figura P20.82, expresse V em termos de coordenadas cartesianas através de

r = x 2 + y 2 1 2

E

cos ⁡ θ = y x 2 + y 2 1 2

(f) Utilizando estes resultados e novamente considerando r a, calcule as componentes de campo Ex e Ey .

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Então vamos resolver essa questão bem legal aqui e passo a passo pra gente tirar 10 na provinha!

Vamo lá!

Letra a:

O potencial total é:

V = k e q r 1 - k e q r 2 = k e q r 1 r 2 r 2 - r 1

Temos r > > a , r 2 - r 1 ≈ 2 a c o s ⁡ θ . Note que r 1 é aproximadamente igual à r 2 . Então,

V ≈ k e q r 1 r 2 2 acos ⁡ θ ≈ k e pcos ⁡ θ r 2

Passo 2

Letra b:

E r = - ∂ V ∂ r = 2 k e pcos ⁡ θ r 3

Em coordenadas esféricas, o componente θ do gradiente é - 1 r ∂ ∂ θ . Portanto,

E θ = - 1 r ∂ V ∂ θ = k e psin ⁡ θ r 3

Passo 3

Letra c:

Para r > > a , θ = 90 ∘ :

E r 90 ∘ = 0 , E θ 90 ∘ = k e p r 3

Para r > > a , θ = 0 ∘

E r 0 ∘ = 2 k e p r 3 , E θ 0 ∘ = 0

Sim, os resultados são razoáveis.

Passo 4

Letra d:

Não, porque como r r → 0 , E → ∞ . A magnitude do campo elétrico entre as cargas do dipolo não é infinito.

Passo 5

Letra e:

Substituindo r 1 ≈ r 2 ≈ r = x 2 + y 2 1 / 2 e c o s ⁡ θ = y x 2 + y 2 1 / 2 em

V = k e pcos ⁡ θ r 2

Temos,

V = k e p y x 2 + y 2 3 2

Passo 6

Letra f:

E x = - ∂ V ∂ x = 3 k e p x y x 2 + y 2 5 2

E

E y = - ∂ V ∂ y = k e p 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 5 2

Resposta

  1. Ver resposta
  2. k e psin ⁡ θ r 3
  3. Sim
  4. Não
  5. V = k e p y x 2 + y 2 3 2
  6. E x = - ∂ V ∂ x = 3 k e p x y x 2 + y 2 5 2   e   E y = - ∂ V ∂ y = k e p 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 5 2
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