Dois alto-falantes posicionados em plataformas elevadas encontram-se nas extremidades opostas de um campo. Cada um emite som igualmente em todas as direções. O nível de intensidade sonora em um ponto intermediário entre os alto-falantes é de 75,0 dB. Qual é o nível de intensidade sonora cm um ponto quatro vezes mais próximo de um dos alto-falantes do que do outro, ao longo da linha que os une?

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Sabemos que:

β = 10 d β log 10 ⁡ I i I 0

Dito isto, vamos chamar a distância entre os alto-falantes de d , também chamar a intensidade na metade do caminho entre os alto-falantes (simplificando, em d 2 ) de I 1 e ao nível de intensidade desse ponto será de β 1 = 75 d β

Chamemos de I 2   e β 2 a distância em 1 4 e 3 4 de uma caixa pra outra,

Como pedido, procuramos por β 2

Passo 2

Assim:

Δ β = β 2 - β 1 = 10 d β log 10 ⁡ I 2 I 0 - 10 d β log 10 ⁡ I 1 I 0

Δ β = β 2 - β 1 = 10 d β log 10 ⁡ I 2 I 0 - I 1 I 0

E pela propriedade logarítmica:

Δ β = β 2 - β 1 = 10 d β   log 10 ⁡ I 2 I 0 I 1 I 0

Logo:

Δ β = β 2 - β 1 = 10 d β log 10 ⁡ I 2 I 1

Sabendo que:

I = P A

E para uma onda esférica, A = 4 π r 2

Para a razão I 2 I 1 :

I 1 = P 4 π d 2 2 + P 4 π d 2 2

Pois é a intensidade de cada uma vindo até a metade do percurso

I 1 = 2 P π d 2

E

I 2 = P 4 π d 4 2 + P 4 π 3 4 d 2

I 2 = 40 9 P π d 2 o u   I 2 = 20 9 I 1  

Logo:

I 2 I 1 = 20 9

Passo 3

Retornando à equação dita no começo, e adicionando β 1 = 75   d β

Δ β = β 2 - β 1 = d β   log 10 ⁡ 20 9

Δ β = 3,48   d β

Assim:

Δ β = β 2 - β 1 → β 2 = β 1 + Δ β

β 2 = 75   d β + 3,48   d β

Que equivale a β 2 = 78   d β

Resposta

A intensidade deve ser de 78   d β

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