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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 70

Dois corpos de massas m e 3 m estão separados por uma distância. Determine os pontos em que: (a) o campo gravitacional resultante é nulo; (b) as duas massas produzem campos gravitacionais que têm o mesmo módulo, direção e sentido; (c) as duas massas produzem potenciais gravitacionais idênticos.

Passo 1

E aí, beleza?? Para que o campo gravitacional seja nulo, devemos considerar um ponto entre os dois corpos. Seja x a coordenada desse ponto ao corpo de massa m , temos:

G m x 2 - 3 G m D - x 2 = 0 ∴ D - x 2 = 3 x 2 ∴ D - x = 3 x

Logo:

x 1 + 3 = D ∴ x = D 1 + 3 ∴ x = D 2 3 - 1

Passo 2

Para que possuam o mesmo módulo, direção e sentido, devemos considerar a raiz x < 0 da equação do item anterior, portanto:

D - x = - 3 x ∴ x 3 - 1 = - D ∴ x = - D 2 3 + 1

Passo 3

Para os pontos em que os potenciais são idênticos, temos:

G m r 1 = 3 G m r 2 ∴ r 2 = 3 r 1 ∴ r 2 2 = 9 r 1 2

Assim, sendo o corpo de massa m a origem e o eixo x aquele que passa pelos dois corpos, temos:

r 1 2 = x 2 + y 2

r 2 2 = D - x 2 + y 2

Portanto, simplificando:

y 2 + x - 9 8 D 2 = 3 D 8 2

Que é uma circunferência de centro ( 9 D / 8   ,   0 ) e raio 3 D / 8 .

Resposta

(a)

x = D 2 3 - 1

(b)

x = - D 2 3 + 1

(c)

y 2 + x - 9 8 D 2 = 3 D 8 2

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