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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 66

Uma partícula se move sob a ação de uma força repulsiva de módulo F = k / r 2 . A partícula é lançada, de um ponto muito distante do centro de força, com uma velocidade v 0 e um parâmetro de impacto b (veja o E x .   7.16 ). Determine (a) a equação da trajetória, (b) a distância de máxima aproximação do centro de força, (c) o ângulo formado pela direção em que ele se afasta com a direção inicial. Compare suas respostas com os resultados do Ex. 7.16. [Sugestão: note que, neste capítulo, as fórmulas poderão ser aplicadas se - γ m m ' for substituído por k .]

Passo 1

E aí, beleza?? Da equação de Binet, temos:

u ' ' + u = - m L 2 u 2 F 1 u

Em que u = 1 / r   e as derivadas são tomadas com respeito a θ .Portanto:

u ' ' + u = - m k L 2 ∴ u ' ' + u + m k L 2 = 0

Dessa maneira, sendo L = m v 0 b :

r θ = m v 0 2 b 2 / k A cos ⁡ θ - θ 0 - 1

Passo 2

Para determinar A e θ 0 , façamos:

r 0 = r π - ϕ = ∞

Portanto:

A = 1 cos ⁡ θ 0

θ 0 = π 2 - ϕ 2

Assim, como sabemos ϕ do Ex. 7.16 , vem:

θ 0 = π 2 - atan ⁡ k m v 0 2 b   ;     A = 1 + m v 0 2 b k 2

Ou seja:

r θ = b m v 0 2 b k 1 + m v 0 2 b k 2 cos ⁡ θ - π 2 - atan ⁡ k m v 0 2 b - 1

Passo 3

A distância mínima ocorre em θ = 1 2 π - ϕ = θ 0 , logo:

r m i n = b m v 0 2 b k 1 + m v 0 2 b k 2 - 1

Resposta

r θ = b m v 0 2 b k 1 + m v 0 2 b k 2 cos ⁡ θ - π 2 - atan ⁡ k m v 0 2 b - 1

ϕ = 1 2 atan ⁡ k m v 0 2 b

r m i n = b m v 0 2 b k 1 + m v 0 2 b k 2 - 1

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