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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 36.Problemas adicionais - Ex. 114

Duas linhas de emissão têm comprimentos de onda λ e λ   +   Δ λ , em que Δ λ   ≪   λ . Mostre que a separação angular ∆ θ das linhas em um espectrômetro de rede de difração é dado aproximadamente por

∆ θ = ∆ λ d / m 2 - λ 2

em que d é o espaçamento das ranhuras e m é a ordem na qual as linhas são observadas. Note que a separação angular é maior nas ordens mais altas.

Passo 1

Bom! Temos que demonstrar que ∆ θ é dado por...

∆ θ = ∆ λ d / m 2 - λ 2

Vamos então, recorrer à equação abaixo...

d sen ⁡ θ = m λ

Em que d é o espaçamento das fendas, θ é a orientação do raio difratado, λ   é o comprimento de onda e m é um número inteiro.

A equação anterior, nós podemos reajustá-la como...

d sen ⁡ ( θ + ∆ θ ) = m ( λ + ∆ λ )

E então, subtraindo essa equação da anterior, obtemos que...

d sen ⁡ ( θ + ∆ θ ) - d sen ⁡ θ = m λ + ∆ λ - m λ

d sen ⁡ θ + ∆ θ - sen ⁡ θ = m ∆ λ

Passo 2

Continuando nossa raciocínio... A gente sabe que...

lim ∆ θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ + ∆ θ - sen ⁡ θ ∆ θ = cos ⁡ θ

Logo, podemos estabelecer a seguinte relação...

sen ⁡ θ + ∆ θ - sen ⁡ θ = cos ⁡ θ ∆ θ

E com isso...

d sen ⁡ θ + ∆ θ - sen ⁡ θ = m ∆ λ

d cos ⁡ θ ∆ θ = m ∆ λ

Agora, vamos isolar ∆ θ :

∆ θ = m λ d cos ⁡ θ

Da identidade trigonométrica, sabemos que...

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Logo...

∆ θ = m ∆ λ d cos ⁡ θ

∆ θ = m ∆ λ d 1 - sen 2 ⁡ θ

Só que pela equação abaixo, obtemos que sen ⁡ θ   é dado por...

d sen ⁡ θ = m ∆ λ

d sen ⁡ θ = m ∆ λ

sen ⁡ θ = m ∆ λ d

Substituindo então, na fórmula do ∆ θ :

∆ θ = m ∆ λ d 1 - sen 2 ⁡ θ

∆ θ = m ∆ λ d 2 1 - m λ d 2

∆ θ = m ∆ λ d 2 - m λ 2

Dividindo em cima e em baixo por m ...

∆ θ = m ∆ λ m d 2 - m λ 2 m

∆ θ = ∆ λ d m 2 - λ 2

Obtemos o resultado que estávamos procurando!

Feshow!? Capítulo finalizado com sucesso

Resposta

∆ θ = ∆ λ d m 2 - λ 2

Costumamos chamar informalmente de “azul” o comprimento de onda de 400 nm e de “vermelho” o comprimento de onda

Costumamos chamar informalmente de “azul” o comprimento de onda de 400 nm e de “vermelho” o comprimento de onda

em que q é a posição angular da linha associada ao comprime

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