A energia cinética de certa partícula pode ser escrita como p c com um erro na energia total não maior que 1 % . Qual é sua velocidade mínima? Qual seria a energia cinética, em e V , de um elétron e de um próton que se movessem com essa velocidade?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos determinar o erro relativo dessa aproximação:

e = p c 2 + E 0 2 - p c p c 2 + E 0 2

Como esse erro é pequeno, podemos fazer a seguinte aproximação no numerador:

p c ≫ E 0 ∴ p c 2 + E 0 2 = p c   1 + E 0 p c 2 ≈ p c 1 + 1 2 E 0 p c 2

E E ≈ p c no denominador. Assim:

e = p c ⋅ 1 2 E 0 p c p c ≈ 1 2 E 0 p c

Ou seja:

p c = E 0 2 e

Passo 2

Dessa forma, a velocidade mínima é dada por:

γ m 0 v c = m 0 c 2 2 e ∴ γ β = 1 2 e

Portanto:

4 e 2 β 2 = 1 - β 2 ∴ β = 1 1 + 4 e 2

Ou seja:

v = c 1 + 4 e 2 ≈ 1 - 2 e 2 c

E a energia cinética:

1 γ = 1 - β 2 = 4 e 2 1 + 4 e 2 ∴ γ = 1 + 4 e 2 2 e ≈ 1 + 2 e 2 2 e

Logo:

K = γ - 1 E 0 ∴ K = 2 e 2 - 2 e + 1 2 e E 0 ≈ E 0 2 e

K ≈ E 0 2 e

Passo 3

Numericamente, para um elétron e um próton, temos:

K e = 25,5   M e V

K p = 4,65 × 10 10 e V

Resposta

K e = 25,5   M e V

K p = 4,65 × 10 10 e V

Ver Outros Exercícios desse livro