Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 25
A energia de um oscilador harmônico linear é
a) Mostre, usando a relação de incerteza, que isto pode ser escrito como
b) Mostre então que a energia mínima do oscilador é , onde
é a frequência de oscilações.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Eu lembro que quando fiz física 5 esse problema me tirou o sono. Vou tentar te ajudar e evitar que você perca seu sono por causa dele 😊.
Bom, o grande truque para resolver o problema é considerar que vamos trabalhar com a minimização da energia, isto é, estamos procurando o estado fundamental do sistema.
Pelo princípio da incerteza, o oscilador não pode estar parado. Caso ele esteja parado, sabemos a posição exatamente (sua incerteza é nula) e sabemos sua velocidade exatamente (logo, a incerteza do momento também nula). Isso viola a relação de incerteza!
Considerando que estamos em baixas energias, tanto como devem ser pequenos. Nesse caso, uma estimativa bem razoável para as incertezas são os próprios valores das grandezas:
Isso vai resolver o problema para você! Eu demorei algumas noites para sacar isso, mas agora que eu te contei vai ficar fácil para você!
Passo 2
Podemos substituir a relação do passo anterior no princípio da incerteza:
Agora é só substituir na expressão da energia:
Assim, encontramos a expressão pedida:
Passo 3
Para minimizar a energia, derivamos com relação a e igualamos a zero:
Assim,
Tirando a raiz quadrada:
Substituímos de volta na expressão da energia:
Logo,
Portanto,
Prontinho!
Resposta
Demonstração.