Enunciado

O espaçamento planar principal em um cristal de cloreto de potássio é 3,14 ⋅ 10 - 10   m . Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira ordem, por esses planos, de elétrons com energia cinética 40   k e V com o de fótons com energia 40   k e V .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema vamos brincar um pouco com a lei de Bragg:

n λ = 2 d   s e n   φ

O ângulo de reflexão θ se relaciona com φ por

2 φ + θ = 180 °

Além disso, d = 3,14 ⋅ 10 - 10   m é o espaçamento planar, λ é o comprimento de onda e n determina a ordem da reflexão de Bragg. Nesse problema, vamos considerar n = 1 , de modo que

s e n   φ = λ 2 d

Já conhecemos d , falta obter λ em cada caso!

Passo 2

Recomendo que você olhe o problema 8 deste capítulo para entender que

λ e l e t r o n = h 2 m K               e           λ f o t o n = h c K

Para o elétron, escrevemos

λ e l e t r o n = h c 2 m c 2 K

Sabemos que h c = 1240   e V   n m e m c 2 = 511   k e V . Logo, como K = 40   k e V :

λ e l e t r o n = 1240   e V   n m 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 40 ⋅ 10 3   e V = 6,13 ⋅ 10 - 12   m

Já para o fóton:

λ f o t o n = 1240   e V   n m 40 ⋅ 10 3   e V = 31 ⋅ 10 - 12   m

Passo 3

Agora voltamos para a lei de Bragg:

s e n   φ = λ 2 d

Considerando d = 3,14 ⋅ 10 - 10   m , para o elétron temos

s e n   φ = 6,13 ⋅ 10 - 12 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 10 = 0,976 ⋅ 10 - 2 = 0,00976

Assim,

φ e l e t r o n = 0,56 °

Como θ = 180 ° - 2 φ , temos que

θ e l e t r o n = 178,88 °

Já para o fóton, temos

s e n   φ = 31 ⋅ 10 - 12 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 10 = 0,0493 → φ f o t o n = 2,82 °

Com isso,

θ f o t o n = 174,36 °

Esses são os ângulos de reflexão de Bragg para o elétron e para o fóton! Os comprimentos de onda são tão pequenos (comparados ao espaçamento planar) que as ondas de partícula praticamente não são espalhadas!

Resposta

θ e l e t r o n = 178,88 °

θ f o t o n = 174,36 °

Ver Outros Exercícios desse livro