Enunciado

Use as expressões relativísticas para a energia total e para o momento para verificar que a velocidade de grupo v g de uma onda de matéria é igual à velocidade v da partícula associada.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro você lembrar a definição da velocidade grupo:

v g = d ω d k ,

onde ω = 2 π ν é a frequência angular e k = 2 π / λ é o número de onda. Geralmente, temos uma relação de dispersão do tipo ω = ω k .

Uma outro forma de escrever a velocidade de grupo é

v g = d E d p

Isso é feito na seção 3-4 do livro.

Passo 2

No caso relativístico, temos

E = p c 2 + m c 2 2

Vamos derivar isso com relação a p :

v g = d E d p = 1 2 p c 2 + m c 2 2 - 1 / 2 ⋅ d d p p c 2 + m c 2 2

Assim,

v g = 1 2 p c 2 + m c 2 2 ⋅ 2 ⋅ p c ⋅ d d p p c

Identificando E = p c 2 + m c 2 2 , temos

v g = p c 2 E

Agora lembre-se que p = γ m v e E = γ m c 2 . Com isso, achamos

v g = γ m v c 2 γ m c 2 → v g = v

Show de bola: provamos que a velocidade de grupo é igual a velocidade da partícula!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro