As faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros de lado l . Determine, por métodos vetoriais, o ângulo que cada lado faz com a face oposta e a distância entre um vértice e a face oposta.

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos posicionar o tetraedro de modo que sua base esteja distribuída segundo a figura abaixo:

Note que nesse sistema o outro vértice está em ( 0,0 , h ) , em que h é determinado por:

Nessa figura, temos:

h 2 + r 2 = l 2       ,         r 2 = 3 l 2 36 + l 2 4 = 12 l 2 36 = l 2 3

Logo:

h 2 = 2 l 2 3 ∴ h = 6 l 3

Ou seja, o outro vértice está em 0,0 , 6 l / 3 .

Passo 2

Considerando que agora localizamos os pontos do tetraedro, a questão fica mais simples agora. Considere a seguinte figura para basear o restante da questão:

Assim, vamos calcular o ângulo que o lado B C faz com a face A C D . O vetor normal a essa face é dado pelo produto vetorial:

n → A C D = A C → × C D → = l 2 - 1 2 , 3 2 , 0 × - 1 2 , 3 6 , 6 3

n → A C D = l 2 2 2 , 6 6 , 3 6

Portanto, o produto escalar nos fornece:

B C → ∙ n → A C D = l 3 1,0 , 0 ∙ 2 2 , 6 6 , 3 6 = l 3 2 2

B C → ∙ n → A C D = l ∙ 3 l 2 2 ∙ c o s c o s   ψ   = 3 l 3 2 c o s c o s   ψ  

Logo:

c o s c o s   ψ = 2 3 ∴ ψ ≈ 48 °  

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto B ao plano gerado por A C _ e C D _ e que passa por C . Para isso, vamos usar o resultado na resolução do exercício 3.22 . Lá, foi demonstrado que a distância pode ser obtida com:

d = | B - C ∙ V → | | V → |

Onde V → é um vetor perpendicular ao plano, ou seja:

V → = n → A C D

Portanto:

d = | B - C ∙ n → A C D | | n → A C D |

Substituindo os valores, temos:

d = 2 3   l

Resposta

Olhar passo a passo

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