Enunciado

A Fig. 5-39 mostra uma vista superior de um disco de 0,0250   k g sobre uma mesa sem atrito e duas das três forças que agem sobre o disco. A força F → 1 tem um módulo de 6,00   N e um ângulo θ 1 = 30,0 ° . A força F → 2 tem um módulo de 7,00   N e um ângulo θ 2 = 30,0 ° . Em termos dos vetores unitários, qual é a terceira força se o disco (a) está em repouso, (b) tem uma velocidade constante v → = 13,0 i ^ - 14,0 j ^   m / s e (c) tem uma velocidade variável v → = 13,0 t i ^ - 14,0 t j ^   m / s , onde t é o tempo?

Passo 1

Show de bolinhas galera, pra gente iniciar essa questão precisamos ter em mente que a força resultante F r → que age sobre um corpo é igual a soma de todas as forças que atuam no mesmo, e está relacionada à aceleração a → pela definição da segunda lei de Newton, tal que:

F r → = ∑ n = 0 N F i → = m a →

Para facilitar a resolução desta questão, podemos aplicar a segunda lei de Newton para cada componente, assim:

F r x = m a x ,     F r y = m a y

Além disso, precisamos ter em mente que a força resultante está relacionado somente com a aceleração do corpo. Se a velocidade é nula ou é constante diferente de zero, não importa, o que importa é que em ambos os casos a aceleração tem que ser nula e, portanto, a força resultante precisa também ser nula.

Nesta questão foi dado o módulo das duas forças ( F 1 = 6,00   N e F 2 = 7,00   N ), os ângulos dessas forças e nos pede qual o valor da terceira força no caso do disco está em repouso, ter uma velocidade constante e uma velocidade variável dada.

Passo 2

Para iniciar, vamos escrever as forças em termos de suas componentes:

F 1 → = F x i ^ + F y j ^

F → 1 = - 6 cos ⁡ 30 ° i ^ + 6 sin ⁡ 30 ° j ^

F → 1 = - 5,20 i ^ + 3,00 j ^   N

Agora para F 2 :

F 2 → = F 2 x i ^ + F 2 y j ^

F → 2 = 7 sin ⁡ 30 ° - 7 cos ⁡ 30 °

F → 2 = 3,50 i ^ - 6,06 j ^   N

Enquanto F 3 pode ser expressa como:

F 3 → = F 3 x i ^ + F 3 y j ^

Escrevendo a soma vetorial:

F r → = F 1 → + F 2 → + F 3 →

F → r = - 5,20 i ^ + 3,00 j ^ + 3,50 i ^ - 6,06 j ^ + F 3 x i ^ + F 3 y j ^

Fazendo a combinação das componentes, eixo por eixo:

F r x = - 5,20 + 3,50 + F 3 x = m a x

F r y = 3,00 - 6,06 + F 3 y = m a y

Passo 3

Iradoso, agora com as equações da segunda lei de Newton em cada componente, podemos substituir os valores interpretados pela questão. Primeiro vamos lembrar que se a velocidade é nula ou ela é diferente de zero, mas é constante, então a soma vetorial deve ser nula. Assim, reescrevendo as equações acima para o eixo x :

0 = - 5,20 + 3,50 + F 3 x

Então, isolando F 3 x :

F 3 x = 5,20 - 3,50

F 3 x = 1,70   N

Agora, para o eixo y :

0 = 3,00 - 6,06 + F 3 y

Isolando F 3 y :

F 3 y = 6,06 - 3,00

F 3 y = 3,06   N

Portanto:

F 3 → = F 3 x i ^ + F 3 y j ^

F 3 → = 1,70 i ^ + 3,06 j ^   N

Passo 4

Por fim, se a velocidade varia, então a aceleração é diferente de zero, show? Então, precisamos encontrar essa aceleração, para isso, devemos lembrar que:

a t = d v t d t

Portanto:

a → t = d 13 t i ^ - 14 t j ^ d t = 13 i ^ - 14 j ^   m / s 2

Uma vez definido a aceleração, podemos substituir nas equações, sabendo que m = 0,0250   k g , então para o eixo x :

- 5,20 + 3,50 + F 3 x = m a x

- 5,20 + 3,50 + F 3 x = 0,025 × 13

Isolando F 3 x :

F 3 x = 0,325 + 5,20 - 3,50

F 3 x = 2,025   N

De maneira análoga para o eixo y :

3,00 - 6,06 + F 3 y = m a y

3,00 - 6,06 + F 3 y = 0,025 × ( - 14 )

Isolando F 3 y :

F 3 y = - 0,35 + 6,06 - 3,00

F 3 y = 2,71   N

Assim:

F 3 → = 2,03 i ^ + 2,71 j ^   N

Resposta

  1. F 3 → = 1,70 i ^ + 3,06 j ^   N ;
  2. F 3 → = 1,70 i ^ + 3,06 j ^   N ;
  3. F 3 → = 2,03 i ^ + 2,71 j ^   N .
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