Enunciado

Um corpo com 2,0   k g de massa sofre uma colisão elástica com um corpo em repouso e continua a se mover na mesma direção e sentido, mas com um quarto da velocidade inicial. (a) Qual é a massa do outro corpo? (b) Qual é a velocidade do centro de massa dos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de 2,0   k g era 4,0   m / s ?

Passo 1

Belezera pessoal, seja m 1 a massa do corpo que estava se movendo inicialmente, seja v 1 i a velocidade desse corpo antes da colisão e seja v 1 f     a velocidade desse corpo depois da colisão. Agora seja m 2     a massa do corpo que estava inicialmente em repouso e seja v 2 f   a velocidade desse corpo depois da colisão. Sua velocidade inicial é nula, afinal ele estava em repouso anes da colisão.

De acordo com a lei de conservação do momento linear,

m 1 v 1 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Tal que v 2 f :

v 2 f = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f

Já de acordo com a lei de conservação da energia, por sua vez , temos que :

m 1 v 1 i 2 2 = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2

m 1 v 1 i 2 = m 1 v 1 f 2 + m 2 v 2 f 2

Tal que:

v 2 f 2 = m 1 m 2 v 1 i 2 - v 2 f 2

v 2 f 2 = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f v 1 i + v 1 f

E como vimos que v 2 f = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f , substituindo na equação acima:

v 2 f 2 = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f ⏝ v 2 f v 1 i + v 1 f

v 2 f 2 = v 2 f v 1 i + v 1 f

Logo:

v 2 f = v 1 i + v 1 f

E por fim voltando na equação v 2 f = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f , teremos que:

v 1 i + v 1 f = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f

v 1 i m 2 - m 1 m 2 + v 1 f m 2 + m 1 m 2 = 0

v 1 i = v 1 f m 2 + m 1 m 2 - m 1

Passo 2

Iradoso, explicitando m 2 , na equação:

v 2 f = m 1 m 2 v 1 i - v 1 f

Obtemos:

m 2 = m 1 v 2 f v 1 i - v 1 f

Logo:

m 2 = v 1 i - v 1 f v 1 f + v 1 i m 1

A velocidade do centro de massa é

v C M = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i m 1 + m 2

Como o enunciado nos diz que a velocidade final da massa 1 é relacionado com a velocidade final através da expressão:

v 1 f = v 1 i 4

A massa do segundo corpo é:

m 2 = v 1 i - v 1 f v 1 i + v 1 f m 1

m 2 = v 1 i - v 1 i 4 v 1 i + v 1 i 4 m 1

m 2 = 3 5 m 1

Portanto:

m 2 = 3 5 2   kg

m 2 = 1,2 k g

Passo 3

A velocidade do centro de massa, por sua vez, é dada como:

v C M = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i m 1 + m 2

v C M = 2 4 + 1,2 0 2 + 1,2

v C M = 2,5   m/s

Resposta

  1. m 2 = 1,2   kg
  2. v C M = 2,5   m/s

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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