A Figura G.1.10 mostra uma cabeça inclinada para a frente. A cabeça pesa 50 N e é suportada pela forca muscular F → m , exercida pelos músculos do pescoço, e pela força de contato F C , exercida na junta atlantooccipital. Dada a forca F → m , F → m = 60 N , e a sua direção formando um angulo de 35 ° com a horizontal, calcule à forca F → C para manter a cabeça em equilíbrio.

Passo 1

Primeiramente vamos fazer o diagrama de corpo livre, para esquematizar todas as forças, e como elas atuam em seus respectivos pontos de ação:

Com o DCL esquematizado, podemos analisar as forças atuantes, e então deduzir as condições de equilíbrio para a solução do problema:

Passo 2

O enunciado pede para manter a cabeça em equilíbrio:

Com isso podemos utilizar as equações de equilíbrio estático:

∑ F → x = 0     e   ∑ F → y = 0      

Passo 3

Vamos analisar as forças em x :

F → m x - F → C x = 0     ⟹         F → m x = F → C x       I

Passo 4

Vamos colocar as forças em função das resultantes: F → m   e   F → C :

Analisando as forças resultantes em seus respectivos pontos de ação, definimos que:

F → m x = F → m ⋅ cos ⁡ 35 ° - F → C x = F → C ⋅ cos ⁡ θ           ⟹       Subst. tudo em   I :

F → C ⋅ cos ⁡ θ = F → m ⋅ cos ⁡ 35 °     I I

Passo 5

Vamos analisar agora, as forças em y :

F → C y - F → m y - F → g = 0     ⟹         F → C y = F → m y + F → g       I I I

Passo 6

Semelhante o que fizemos em x , vamos fazer em y , colocar as forças em função das resultantes: F → C   e   F → m usando as mesmas condições:

F → m y = F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° 0 F → C y = F → C ⋅ sin ⁡ θ           ⟹       Subst. tudo em   I I I :

F → C ⋅ sin ⁡ θ = F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° + F → g       I V

Passo 7

Como o valor de F → m   e   F → g são fornecidos no enunciado, temos duas equações com duas incógnitas:

F → C ⋅ cos ⁡ θ = F → m ⋅ cos ⁡ 35 °   I I                         0 F → C ⋅ sin ⁡ θ = F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° + F → g       I V

Primeiro passo a partir de agora, é ver se conseguimos através de alguma operação elementar, eliminar uma das duas incógnitas:

Se optarmos por dividir I V I I , eliminaremos F → C e determinamos θ , pois sin ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ , vamos efetuar a divisão:

Passo 8

F → C ⋅ sin ⁡ θ F → C ⋅ sin ⁡ θ = F → m ⋅ cos ⁡ 35 ° F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° + F → g      

tan ⁡ θ = F → m ⋅ cos ⁡ 35 ° F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° + F → g                 ⟹       θ = arctan ⁡ F → m ⋅ cos ⁡ 35 ° F → m ⋅ sin ⁡ 35 ° + F → g      

Subst. os valores numéricos fornecidos pelo exercício temos , F → m = 60 N   e   F → g = 50 N :

θ = arctan ⁡ 60 ⋅ cos ⁡ 35 ° 60 ⋅ sin ⁡ 35 ° + 50       ⟹       θ ≅ 30,21 °

Passo 9

Subst. θ   em uma das equações I   o u   I I , determinamos F → C :

Usando a equação I , temos:

F → C ⋅ cos ⁡ θ = F → m ⋅ cos ⁡ 35 °       ⟹       F → C = F → m ⋅ cos ⁡ 35 ° cos ⁡ θ

Subst. os valores numéricos:

F → C = 60 ⋅ cos ⁡ 35 ° cos ⁡ 30,21 °    

Resposta

  F → C ≅ 56,9 N

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