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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 32.Exercícios e Problemas - Ex. 80

Um fio feito com metal de resistividade ρ é esticado ao longo do eixo x, entre x = 0 e x =L. Em uma posição qualquer x, o raio do fio é dado por   r   =   r 0 - x / t

a. Obtenha uma expressão para a resistência R do fio.

b. Para que valor de l o fio terá raio constante?

c. Expanda sua expressão para R em uma série de Taylor e mostre

que ela fornece o resultado esperado quando l tem o valor obtido

no item anterior

Passo 1

  1. A resistência ΔR de um segmento do fio de comprimento Δx é

    Δ R   =   ρ Δ x A   =   ρ Δ x π ( r 0 e - x / 1 ) ²   =   ρ Δ x π r 0 ² e - 2 x / l

    A resistência do comprimento total do fio é

    R   =   Σ Δ R   →   ∫ 0 L ρ π r 0 ² e 2 x / l d x   =   ρ π r 0 ² l 2 e 2 x / l | 0 L   =   ρ l 2 π r 0 ² ( e 2 L / l - 1 )

    Passo 2

  2. A diminuição exponencial do raio pareceria plana se   l   > >   L . Ou, posto de outra forma L l < < 1

  3. A expansão em série de Taylor da função exponencial é

e 2 L / l   =   1   +   2 L l + 1 2 ( 2 L l ) ²   +   .   .   .

Mantendo a expansão de primeira ordem em L l ,   e 2 L / l   ≈ 1   +   2 L l . assim

R   ≈   ρ l 2 π r 0 ² ( 1   +   2 L l - 1 )   =   ρ L π r 0 ² =   ρ L A

Resposta

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