Enunciado

Um foguete, lançado verticalmente, expele massa na razão constante de 5 × 10 - 2 m 0   k g / s , onde m 0 é a sua massa inicial. O escapamento dos gases em relação ao foguete dá-se com a velocidade de 5 × 10 3   m / s . Calcule a velocidade e a altitude do foguete após 10   s .

Passo 1

E aí, beleza?? Da questão anterior, já vimos a equação que determina v ( t ) :

v t = u ln ⁡ 1 1 - m ˙ m 0   t - g t

Perceba, no entanto, que o termo m ˙ / m 0 t é pequeno, de modo que é aceitável que trabalhemos com sua expansão em série de potência para facilitar os cálculos:

ln ⁡ 1 1 - x = - ln ⁡ 1 - x = - - x + - x 2 2 + - x 3 3 + . .

Truncando a soma no terceiro termo, temos:

ln ⁡ 1 1 - x = x - x 2 2 + x 3 3

Assim:

v t = u m ˙ m 0   t - 1 2 m ˙ m 0   t 2 + 1 3 m ˙ m 0   t 3 - g t

Passo 2

Assim, para a posição (que é o verdadeiro motivo pelo qual foi escolhido trabalhar com as potências, ou seja, para fugir da integrar do logaritmo), temos:

x t = ∫ 0 t v t d t

x t = u 1 2 m ˙ m 0   t 2 - 1 6 m ˙ m 0   t 3 + 1 12 m ˙ m 0   t 4 - g t 2 2

Passo 3

Numericamente, vem:

v 10 = 3,37 × 10 3   m / s

x 10 = 14,8   k m

Resposta

v 10 = 3,37 × 10 3   m / s

x 10 = 14,8   k m

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