A função de onda para o estado n = 2 do oscilador harmônico é ψ2 () x = A2 2ax2 - 1 () 2 e-ax 2, onde A2 é a constante de normalização e a é uma constante positiva. Mostre que as funções de onda para os estados n = 1 en = 2 do oscilador harmônico são ortogonais

Para mostrarmos que elas são ortogonais, precisamos mostrar que:

Onde:

Só que, como é uma função ímpar e é uma função par, o produto delas será ímpar!

Obs.: para saber que é par, podemos apenas pensar que a função exponencial não é nem par nem ímpar, mas temos termos de na função. E todos esses termos tornam par, mesmo que multiplicados, pois a multiplicação de duas pares dá uma par!! Continuando coma explicação...

E, como a integral de uma função ímpar com limites simétricos (algo do tipo , onde pode ser qualquer número) é zero:

Deve ser zero também! Pois se encaixa no que acabamos de falar. Isso já basta para provar!