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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 4

Calcule ⟨ x ⟩ , ⟨ x 2 ⟩   ,   ⟨   p ⟩   , ⟨   p 2 ⟩   , σ x e σ p para o n-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito. Quais estados ficam próximos ao limite da incerteza?

Passo 1

Fala aí, tranquilo?? Se prepare porque pra resolver essa questão vamos fazer bastante conta hehe...

Sabemos, da equação 2.28 que a solução para o n-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito é dado pela expressão:

ψ n x = 2 a sen ⁡ n π a   x

Note portando, que como ψ n é uma função real, ψ n * = ψ n . Dessa forma, o valor esperado de uma grandeza F qualquer vai ser:

⟨ F ⟩     = ∫ 0 a F   ψ n 2   d x

Assim, após essa rápida introdução, vamos partir pras contas!

Passo 2

Para ⟨ x ⟩   , temos:

x = 2 a ∫ 0 a x sen 2 ⁡ n π a   x d x

Fazendo a substituição y = n π x / a , ficamos com:

⟨ x ⟩     = 2 a   a n π 2 ∫ 0 n π y sen 2 ⁡ ( y ) d y  

Resolvendo essa integral, chegamos em:

⟨ x ⟩ = 2 a n 2 π 2   y 2 2 - y sen ⁡ 2 y 4 - cos ⁡ 2 y 8 0 n π    

Dessa maneira, ficamos com:

⟨ x ⟩ = 2 a n 2 π 2 ∙ n 2 π 2 4 → ⟨ x ⟩ = a 2  

Passo 3

Partindo agora para o cálculo de ⟨ x 2 ⟩   , temos:

⟨ x 2 ⟩ = 2 a ∫ 0 a x 2 sen 2 ⁡ n π a   x d x

Fazendo novamente a substituição y = n π x / a , vem:

⟨ x 2 ⟩ = 2 a   a n π 3 ∫ 0 n π y 2 sen 2 ⁡ ( y ) d y  

Resolvendo a integral, ficamos com:

⟨ x 2 ⟩ = 2 a 2 n 3 π 3   y 3 6 - y 3 4 - 1 8 sen ⁡ ( 2 y ) - y   cos ⁡ 2 y 4 0 n π

Realizando as substituições, ficamos com:

⟨ x 2 ⟩ = 2 a 2 n 3 π 3   n π 3 6 - n π 4 → ⟨ x 2 ⟩ = a 2 1 3 - 1 2 n π 2

Passo 4

Para calcularmos o valor esperado do momento, podemos utilizar um método mais bizurado:

⟨ p ⟩ = m d   ⟨ x ⟩ d t  

Como x é uma constante, então:

⟨ p ⟩ = 0

Passo 5

Mas agora para calcular ⟨ p 2 ⟩ não temos como fugir... temos que voltar a fazer mais contas...

O valor esperado de p 2 fica (utilizando o operador momento):

⟨ p 2 ⟩ = ∫ 0 a ψ ℏ i d d x 2 ψ   d x = - ℏ 2 ∫ 0 a ψ d 2 ψ d x 2   d x

Como

ψ ' ' = - 2 m E n ℏ 2 ψ

Então...

⟨ p 2 ⟩ = 2 m E n   ∫ 0 a ψ 2   d x

Devido à normalização da função de onda, essa integral vale 1 . Assim, como a energia do n-ésimo estado estacionário é dado por:

E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2

Temos:

⟨ p 2 ⟩ = n π ℏ a 2

Passo 6

Por fim o cálculo dos desvios padrão σ x e σ p são, começando por σ x :

σ x = ⟨ x 2 ⟩ - ⟨ x ⟩ 2   = a 2 1 3 - 1 2 n π 2 - a 2 4

Então, organizando os termos:

σ x = a 2   1 3 - 2 n π 2

Para σ p o cálculo é mais fácil, já que ⟨ p ⟩ = 0 . Assim:

σ p = ⟨ p 2 ⟩   = n π ℏ a 2

Logo:

σ p = n π ℏ a

Passo 7

E agora, depois de todo esse mar de contas, vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg! Para σ x σ p , vem:

σ x σ p = n π ℏ 2 1 3 - 2 n π 2

Ou ainda, reorganizando os termos:

σ x σ p = ℏ 2   n π 2 3 - 2

Dessa maneira, o produto entre os desvios vai ser o menor possível quando n = 1 . Nesse estado temos:

σ x σ p = 1,136 ℏ 2 > ℏ 2  

Logo, o princípio da incerteza é respeitado!

Resposta

⟨ x ⟩ = a 2  

⟨ x 2 ⟩ = a 2 1 3 - 1 2 n π 2

⟨ p ⟩ = 0

⟨ p 2 ⟩ = n π ℏ a 2

σ x = a 2   1 3 - 2 n π 2

σ p = n π ℏ a

( σ x σ p ) m i n = 1,136 ℏ 2 > ℏ 2  

O princípio da incerteza é respeitado!

Ver Outros Exercícios desse livro