Um lago de água a 0 °C é coberto por uma camada de gelo de 4,00 cm de espessura. Se a temperatura do ar fica constante a –10,0 °C, que intervalo de tempo é necessário para que a espessura do gelo aumente para 8,00 cm? Sugestão: Use a Equação 17.34 na forma

d Q d t = k A ∆ T x

e observe que a energia gradual d Q extraída da água pela espessura x do gelo é aquela quantidade necessária para congelar uma espessura d x do gelo. Isto é, d Q = L f ρ A , onde r é a densidade do gelo, A é a área e Lf é o calor latente de fusão.

Passo 1

Vem comigo moçadinhaa

Inicialmente, temos uma camada de 4cm de gelo. A temperatura da água do lago é de 0°C e a temperatura do ar externo é de -10°C. Dada a diferença de temperatura, a espessura da camada de gelo aumenta como o tempo. Queremos determinar o intervalo de tempo para que essa camada atinja a espessura de 12 cm.

d Q d t = k ⋅ A ⋅ ∆ T x

k é a condutividade térmica do gelo

A é a área de troca de calor

x é a espessura da camada de gelo

∆ T é a diferença de temperaturas entre o ar e a água do lado

d Q = L f ⋅ ρ ⋅ A ⋅ x

L f é o calor latente da fusão do gelo

ρ é a densidade do gelo

Passo 2

A camada de gelo funciona como uma resistência térmica. Pela equação da condução simplificada, teremos:

d Q d t = k ⋅ A ⋅ ∆ T x

k g e l o = 2   W m ⋅ K

Pela equação do calor latente de fusão, teremos:

d Q = L f ⋅ ρ ⋅ A ⋅ x

L f = 3,33 × 10 5 J k g

ρ = 900 k g m 3

Passo 3

Vamos unir essas duas expressões:

d Q d t = k ⋅ A ⋅ ∆ T x

L f ⋅ ρ ⋅ A ⋅ x d t = k ⋅ A ⋅ ∆ T x

L f ⋅ ρ ⋅ A ⋅ x k ⋅ ∆ T = d t

∫ 0,04 0,08 L f ⋅ ρ ⋅ x k ⋅ ∆ T ⋅ d x = ∫ t     i n i c i a l t     f i n a l d t

L f ⋅ ρ 2 ⋅ k ⋅ ∆ T ⋅ x 2 0,04 0,08 = ∆ t

3,33 × 10 5 ⋅ 900 2 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 0,08 2 - 0,04 2 = ∆ t

∆ t = 35964   s

∆ t ≈ 10 h

Resposta

Portanto, o intervalo de tempo é necessário para que a espessura do gelo aumente para 8,00 cm é de aproximadamente 10 horas.

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